不定式 (數學)

Template:Unreferenced Template:Translating Template:NoteTA 在微積分和數學分析的其他分支中，不定式（Template:Lang-en），又稱未定式，是指這樣一類極限，其在按極限的運算規則進行代入後，還未能得到足夠信息去確定極限值。

这个术语最初由柯西的学生Template:Link-fr在19世紀中葉提出。常見的不定式有：$\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},0\times \mathrm{\infty },1^{\mathrm{\infty }},\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0^0\text{ 和 }{\mathrm{\infty }}^0$。 處理計算未定式的值常見的方法為使用羅必達法則。

例子

0除以0

$\frac{0}{0}$ 是不定式，通常被認為沒有定義。

0的0次方

$0^0$也是不定式。在不同軟件中，有不同的處理規則，有些定義為1或0，有些視為「沒有定義」。

在數學上，當$x$趨向$0^{+}$，$x^x$的極限是1。

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{0}^x=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^0=1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=1$

在冪級數和微積分中，有時候必須定義$0^0=1$，等式才會成立。

在二項式定理中，當$x=0$，右式會出現$0^0$。

$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$

微分學的Template:Le，在$n=1$及$x=0$的情況下，也會出現$0^0$。

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

物理

在物理学上这是有一定的解释。比如说电阻定义 (欧姆定律)$R=\frac{U}{I}$，当电压和电流都为 $0$ 时 $R$ 的值存在不确定性。

例如，极限

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 當$f(c)=g(c)=0$。若 $f(x)$ 等于 $g(x)$，极限为1；若 $f(x)$ 等于 $g(x)$ 的两倍，则极限为2。

更一般地，$\frac{0}{0}$ 的极限可以通过洛必达法则求得。

不定式列表

下表中列出了最常见的不定式，可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。

不定式	条件	变换到0/0	变换到∞/∞
$0/0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	—	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
$\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$	—
$0\cdot \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/f(x)}$
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\ln \underset{x\to c}{\lim }\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$
$0^0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0^{+},\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
$1^{\mathrm{\infty }}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
${\mathrm{\infty }}^0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$