Β分布

Template:NoteTA Template:Probability distribution Β分布，亦称貝它分布、Beta 分布（Beta distribution），在概率论中，是指一组定义在$(0,1)$区间的连续概率分布，有两个母数$\alpha ,\beta >0$。

定义

概率密度函数

Β分布的概率密度函数是：

$\begin{array}{cc}f(x;\alpha ,\beta )& =\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\alpha -1}(1-u{)}^{\beta -1}du}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\end{array}$

其中$\mathrm{\Gamma }(z)$是Γ函数。如果$n$為正整數，则有：

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

随机变量X服从参数为$\alpha ,\beta$的Β分布通常写作

$X\sim \text{Be}(\alpha ,\beta )$

累积分布函数

Β分布的累积分布函数是：

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{{\mathrm{B}}_x(\alpha ,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=I_x(\alpha ,\beta )$

其中${\mathrm{B}}_x(\alpha ,\beta )$是不完全Β函数，$I_x(\alpha ,\beta )$是正则不完全贝塔函数。

性质

参数为$\alpha ,\beta$Β分布的众数是：

$\begin{array}{c}\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}\\ \end{array}$

期望值和方差分别是：

$\mu =\mathrm{E}(X)=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}(X-\mu {)}^2=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$

偏度是：

$\frac{\mathrm{E}(X-\mu {)}^3}{[\mathrm{E}(X-\mu {)}^2{]}^{3/2}}=\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha +\beta +1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha \beta }}$

峰度是：

$\frac{\mathrm{E}(X-\mu {)}^4}{[\mathrm{E}(X-\mu {)}^2{]}^2}-3=\frac{6[{\alpha }^3-{\alpha }^2(2\beta -1)+{\beta }^2(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}$

或：

$\frac{6[(\alpha -\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}$

$k$阶矩是：

$\mathrm{E}(X^k)=\frac{\mathrm{B}(\alpha +k,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=\frac{(\alpha {)}_k}{(\alpha +\beta {)}_k}$

其中$(x{)}_k$表示递进阶乘幂。$k$阶矩还可以递归地表示为：

$\mathrm{E}(X^k)=\frac{\alpha +k-1}{\alpha +\beta +k-1}\mathrm{E}(X^{k-1})$

另外，

$\mathrm{E}(\log X)=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )$

给定两个Β分布随机变量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X的微分熵为：

$\begin{array}{cc}h(X)& =\ln \mathrm{B}(\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{array}$

其中$\psi$表示双伽玛函数。

联合熵为：

$H(X,Y)=\ln \mathrm{B}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime })-({\alpha }^{\prime }-1)\psi (\alpha )-({\beta }^{\prime }-1)\psi (\beta )+({\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime }-2)\psi (\alpha +\beta ).$

其KL散度为：

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(X,Y)=\ln \frac{\mathrm{B}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime })}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}-({\alpha }^{\prime }-\alpha )\psi (\alpha )-({\beta }^{\prime }-\beta )\psi (\beta )+({\alpha }^{\prime }-\alpha +{\beta }^{\prime }-\beta )\psi (\alpha +\beta ).$

參見

• 概率论
• 機率分佈
• Β函数

外部連結

• Beta分佈 Template:Wayback
• LDA-math-认识Beta/Dirichlet分布 Template:Wayback