Verma模

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用Verma模來證明以下命題：最高權為$\lambda$的最高權表示的維數有限，若且僅若$\lambda$是支配整權（Template:Lang）。

Verma模的定義

設：

• $F$為一域；
• $𝔤$，為$F$上一半單李代數；
  • $𝒰(𝔤)$為其泛包絡代數
  • $𝔟$為其一Borel子代數
    • $𝒰(𝔟)$為其泛包絡代數
  • $𝔥$為其一嘉當子代數
• $\lambda \in {𝔥}^{*}$為一固定之權。
• $F_{\lambda }$為$F$上的一維向量空間， 賦與$𝔟$-模結構：$𝔥$的作用為「乘以$\lambda$」，正根的作用為零。由於$F_{\lambda }$是一左$𝔟$－模，他同時亦是一左$𝒰(𝔟)$－模。
• 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，$𝒰(𝔤)$有一自然右$𝒰(𝔟)$－模結構。由於$𝒰(𝔤)$亦是一左$𝔤$－模， 所以是$(𝔤,𝒰(𝔟))$-雙模。
• 定義（最高權為$\lambda$之）Verma模 為

$M_{\lambda }=𝒰(𝔤){\otimes }_{𝒰(𝔟)}{F}_{\lambda }$

此自然地是一左$𝔤$－模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：$M_{\lambda }$，作為一向量空間，同構於

$𝒰({𝔤}_{-}){\otimes }_F{F}_{\lambda }$

其中${𝔤}_{-}$為$𝔤$之負根生成之子李代數。

基本性質

作為$𝔤$－模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是$1\otimes 1$的像（其中前$1$為$𝒰(𝔤)$之單位，後$1$為域$F$之單位元）；其權為$\lambda$。

Verma模是weight modules，即$M_{\lambda }$是其權子空間之直和。每一權子空間$M_{\mu }$是有限維的，其維度是$M_{\mu }$權$\lambda -\mu$寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。

Verma模有一重要性質：若$V$為任一最高權模，其最高權為$\lambda$，則存在一$𝔤$ 滿射：$M_{\lambda }\to V$。換言之，任何最高權模都是$M_{\lambda }$的商模。

$M_{\lambda }$內存在唯一極大子模，而$M_{\lambda }$與此子模之商是不可約的。

Verma模$M_{\lambda }$本身不可約 若且僅若 當其最高權$\lambda$分解成基本權（Template:Link-en）之和時，每一系數都不是$\{0,1,2,\dots \}$。

稱Verma模$M_{\lambda }$為regular，若其最高權λ位於一支配權$\tilde{\lambda }$之仿射Weyl軌迹上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使

$\lambda =w\cdot \tilde{\lambda }$，

其中$\cdot$是Weyl羣的仿射作用。

稱Verma模$M_{\lambda }$為singular，若λ的仿射軌迹上無支配權。此時，存在權$\tilde{\lambda }$使$\tilde{\lambda }+\delta$落於基本Weyl室之牆上；（其 中δ為各基本權之和）。

Verma模之間的態射

設$\lambda ,\mu$為兩權。若存在態射

$M_{\mu }\to M_{\lambda }$，

則$𝔤$的Weyl羣$W$的 仿射作用$W$必然能把$\mu$帶到$\lambda$。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度

$dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\le 1$

其中$\mu ,\lambda$為任何兩權。因此，存在一非零態射$M_{\mu }\to M_{\lambda }$若且僅若$M_{\mu }$ 同構於$M_{\lambda }$的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作與N. Verma的工作。簡言之，

存在非零態射

$M_{\mu }\to M_{\lambda }$若且僅若 存在一串權

$\mu ={\nu }_0\le {\nu }_1\le \dots \le {\nu }_k=\lambda$

使得存在正根

${\gamma }_i$

使

${\nu }_{i-1}+\delta =s_{{\gamma }_i}({\nu }_i+\delta )$

（其中

$s_{{\gamma }_i}$

是根反映（根系），而

$\delta$

是所有基本權之和）且對每一

$1\le i\le k$

，

$({\nu }_i+\delta )(H_{{\gamma }_i})$

為一自然數（其中

$H_{{\gamma }_i}$

是根

${\gamma }_i$

之對偶根（Template:Link-en））。

若Verma模$M_{\mu }$與$M_{\lambda }$俱為regular，則僅存支配權$\tilde{\lambda }$與Weyl羣元w, w′使

P$\mu =w^{\prime }\cdot \tilde{\lambda }$

而且

$\lambda =w\cdot \tilde{\lambda },$

其中$\cdot$為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（Template:Link-en）。存在非零態射

$M_{\mu }\to M_{\lambda }$

若且僅若，在Weyl羣W 的Bruhat次序中，

$w\le w^{\prime }$。

Jordan-Holder序列

設

$0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }$

為一$𝔤$－模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射$M_{\mu }\to M_{\lambda }$。

推論： 設$V_{\mu },V_{\lambda }$為二最高權表示。若

$V_{\mu }\subset V_{\lambda }$

則存在非零態射$M_{\mu }\to M_{\lambda }$。

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解

設$V_{\lambda }$為李代數$𝔤$的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我们已知：存在非零態射

$M_{w^{\prime }\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }$

若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中，

$w\le w^{\prime }$。

以下定理描述如何分解$V_{\lambda }$成Verma模的正合序列。 （此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文）:

存在由$𝔤$－態射組成的正合序列

$0\to {\oplus }_{w\in W,l(w)=n}{M}_{w\cdot \lambda }\to \dots \to {\oplus }_{w\in W,l(w)=2}{M}_{w\cdot \lambda }\to {\oplus }_{w\in W,l(w)=1}{M}_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0$

其中n為Weyl羣最長元之長度。

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。 廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（Template:Link-en，嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲、與。

參攷

• Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
• Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
• Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
• Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

參見

• 李代數表示論
• 泛包絡代數
• 廣義Verma模
• 最高權表示