格林公式

Template:Distinguish Template:微积分学 在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 Template:VarSerif 的線積分與以 Template:VarSerif 為邊界的平面區域 Template:VarSerif 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。

定理

设闭区域$D$由分段光滑的简单曲线 $L$围成，函数 $P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上有一阶连续偏导数，则有

$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L^{+}}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)$

其中$L^{+}$是$D$的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线$L$的曲线积分与$L$所包围的区域$D$上的二重积分之间的关系。另见格林恆等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

D 为一个简单区域时的证明

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C₂和C₄是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C₁和C₃是水平的直线。

如果我们可以证明

$\underset{C}{\int }L\mathrm{d}x=\underset{D}{\iint }(-\frac{\partial L}{\partial y})\mathrm{d}A\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}$

以及

$\underset{C}{\int }M\mathrm{d}y=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\mathrm{d}A\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}$

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

$D=\{(x,y)|a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$

其中g₁和g₂是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

$\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\mathrm{d}A$	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}\left[\frac{\partial L(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}x\right]$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L(x,g_2(x))-L(x,g_1(x))\}\mathrm{d}x\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}$

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C₁、C₂、C₃和C₄的并集。

对于C₁，使用参数方程：。那么：

$\underset{C_1}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L(x,g_1(x))\}\mathrm{d}x$

对于C₃，使用参数方程：$x=x,y=g_1(x),a\le x\le b$。那么：

$\underset{C_3}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x=-\underset{-C_3}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]\mathrm{d}x$

沿着C₃的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C₂和C₄上，x是常数，因此：

$\underset{C_4}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x=\underset{C_2}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x=0$

所以：

$\underset{C}{\int }L\mathrm{d}x$	$=\underset{C_1}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x+\underset{C_2}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x+\underset{C_3}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x+\underset{C_4}{\int }L(x,y)\mathrm{d}x$
	$=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_1(x))]\mathrm{d}x\mathrm{(}\mathrm{4}\mathrm{)}$

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

应用

计算区域面积

使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积。因为区域D的面积等于$A=\underset{D}{\iint }dA$，所以只要我们选取适当的L与M使得$\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}=1$，就可以通过$A={\oint }_C(L\mathrm{d}x+M\mathrm{d}y)$来计算面积。

一种可能的取值是$A={\oint }_{C}x\mathrm{d}y=-{\oint }_{C}y\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\oint }_{C}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x$。

参见

• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 格林函數