对称函数

Template:About 数学中，若n元函数无论变量顺序如何，值都相同，就称之为对称函数。例如，二元函数$f(x_1,x_2)$，当且仅当$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,(x_1,x_2),(x_2,x_1)\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f),f(x_1,x_2)=f(x_2,x_1)$，f是对称函数。最常见的对称函数类型是多项式函数，由对称多项式给出。 一个相关概念是交错多项式，其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外，作为多个向量的函数的张量也可以是对称的，实际上向量空间V上的对称k-向量空间同构于V上的k次齐次多项式空间。对称函数同奇函数与偶函数是不同的概念。

对称化

Template:Main 给定任意一个n元函数f，其在阿贝尔群中取值。可对参数的所有排列求和，构造得对称函数。同样，对偶置换求和、再减去奇置换的求和，就可构造出反对称函数。这些运算不可逆，而且很可能使得非平凡的f变为等于0的常数函数。若已知f的对称化与反对称化，则只能恢复二元的f，且阿贝尔群允许除以2（加倍的逆），这时f等于其对称化与反对称化之和的一半。

例子

• 考虑实值函数 $$f(x_1,x_2,x_3)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$$ 由定义，n元对称函数满足以下性质 $$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=f(x_2,x_1,\dots ,x_n)=f(x_3,x_1,\dots ,x_n,x_{n-1}),\text{ etc.}$$ 一般来说，变量的排列不影响函数值。本例中 $$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_2)(x-x_1)(x-x_3)=(x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)$$ 以此类推，适用于$x_1,x_2,x_3$的所有排列。
• 考虑函数 $$f(x,y)=x^2+y^2-r^2.$$ 若x、y互换，函数变为 $$f(y,x)=y^2+x^2-r^2,$$ 结果与原$f(x,y)$相同。
• 再考虑函数 $$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2-r^2.$$ 若x、y互换，函数变为 $$f(y,x)=a{y}^2+b{x}^2-r^2.$$ 若$a\ne b$，这样就和原函数不一样了，因此是非对称函数。

应用

U-统计量

Template:Main 统计学中，对k-样本统计量进行自助的对称化，可得n元对称函数的n样本统计量，称作U-统计量。例子如样本均值和样本方差。

另见

• 交错多项式
• 对称多项式
• 奇函数与偶函数
• 对称随机变量
• 准对称函数
• 对称函数环
• 对称化
• Template:Translink

参考文献

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, Template:Isbn.