样本方差

Template:Unreferenced Template:NoteTA 样本方差是依据所给样本对随机变量的方差做出的一个估计。

定义

设 $X_1,\cdots ,X_n$ 是随机变量 $X$ 的 $n$ 个样本，则样本方差定义为：

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$

其中 $\overline{X}$ 为样本均值。

根据该定义，可以得出：

$s^2=\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\overline{X}}^2).$

无偏性

若随机变量 $X$ 的期望为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2$，则样本方差的期望满足：

$\mathrm{E}(s^2)=\frac{1}{n-1}[\sum _{i=1}^n\mathrm{E}(X_i^2)-n\mathrm{E}({\overline{X}}^2)]=\frac{1}{n-1}[\sum _{i=1}^n({\sigma }^2+{\mu }^2)-n(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2)]={\sigma }^2$

即样本方差是总体方差的无偏估计。

样本方差的定义中，分母的值为$n-1$而非$n$，一个重要原因即是这样定义的样本方差是总体方差的无偏估计。这被称为贝塞尔修正。

样本方差的分布

样本方差作为随机变量的（可测）函数，其本身也是一个随机变量。在某些特殊情况下样本方差的分布是已知的。例如，若$X_1,\cdots ,X_n$是独立同分布的正态随机变量，均值和方差为$\mu$和${\sigma }^2$，则$(n-1)s^2/{\sigma }^2$服从自由度为$n-1$的卡方分布。