Q阶乘幂

q阶乘幂是阶乘幂的Q-模拟^[1]。与阶乘幂在广义超几何函数中的作用类似，q阶乘幂也是定义基本超几何函数的基础。

定义

当n为正整数时,q阶乘幂定义为

(a; q)_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{k}) = (1 - a) (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots (1 - a q^{n - 1}),

当n为0时,q阶乘幂定义为

(a; q)_{0} = 1 .

与一般的阶乘幂不同的是，q阶乘幂可以扩展成一个无穷乘积

(a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k}),

这时它是一个关于q在单位圆盘内的解析函数，也可以考虑为一个关于q的形式幂级数。其中一个特殊情况

ϕ (q) = (q; q)_{\infty} = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - q^{k})

有限q阶乘幂可以用无穷q阶乘幂表示

(a; q)_{n} = \frac{(a; q)_{\infty}}{(a q^{n}; q)_{\infty}},

这样就能把q阶乘幂扩展到n为负整数的情况：对于非负整数n，有

(a; q)_{- n} = \frac{1}{(a q^{- n}; q)_{n}} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{(1 - a / q^{k})}

以及

(a; q)_{- n} = \frac{(- q / a)^{n} q^{n (n - 1) / 2}}{(q / a; q)_{n}} .

因为很多关于q阶乘幂的等式都含有多个q阶乘幂相乘，因此在标准写法中用一个含有多个变量的q阶乘幂来表示这个乘积：

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}; q)_{n} = (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{m}; q)_{n} .

↑ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538