H square

Template:Expert H²或H-square是數學及控制理論的用語，是指有平方范数的哈代空間，是L²空間的子集合，因此也是希尔伯特空间。特別的是，H²空間也是Template:Le。

單位圓盤內的H²空間

一般而言，單位圓盤內L²空間的元素可以表示為

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }$

而H²空間的元素可以表示為

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }.$

從L²空間到H²空間的映射（令n < 0時的a_n = 0）是orthogonal映射。

半平面中的H²空間

拉氏轉換 $ℒ$

$[ℒf](s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

可以理解為以下的線性算子

$ℒ:L^2(0,\mathrm{\infty })\to H^2\left({ℂ}^{+}\right)$

其中$L^2(0,\mathrm{\infty })$為正實數線上平方可積函數的集合，且${ℂ}^{+}$為複平面的右半平面，而且拉氏轉換也是同构（因為其可逆），而且等距同构，因為滿足下式

$\Vert ℒf{\Vert }_{H^2}=\sqrt{2\pi }\Vert f{\Vert }_{L^2}.$

拉氏轉換是-{「}-半個-{」}-傅立葉轉換，因為以下的分解

$L^2(ℝ)=L^2(-\mathrm{\infty },0)\oplus L^2(0,\mathrm{\infty })$

可以得到$L^2(ℝ)$正交分解成兩個哈代空間

$L^2(ℝ)=H^2\left({ℂ}^{-}\right)\oplus H^2\left({ℂ}^{+}\right).$

在本質上就是Template:Le。

相關條目

• H_∞

參考資料

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, Template:Isbn.