哈代空間

在複分析中，哈代空間（或哈代類）$H^p$是單位圓盤或上半平面上的某類全純函數。高德菲·哈羅德·哈代首先在1915年考慮這類問題。在實分析中，實哈代空間是複哈代空間的成員在實數軸上的邊界值。對於$1<p<\mathrm{\infty }$，實哈代空間基本上等於$L^p$空間。當$p\le 1$時，$L^p$空間較難操作，而哈代空間的性質就比較容易掌握。

在較高維的情況，我們可考慮管狀域（複數情形）及${ℝ}^n$上的函數，從而得到相應的定義。

哈代空間在數學分析、控制論及散射理論中有所應用。

單位圓盤的哈代空間

對$0<p<\mathrm{\infty }$，哈代空間$H^p$定義為開單位圓盤上滿足下述性質的全純函數$f$

$\underset{0<r<1}{\sup }{\left(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f(r{e}^{i\theta })|}^{p}d\theta \right)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$

左側的數定義為範數$\Vert f{\Vert }_{H^p}$。

若$0<p<q<\mathrm{\infty }$，可證明$H^q\subset H^p$。

上半平面的哈代空間

藉凱萊變換，可將單位圓盤的定義翻譯到上半平面的情形。此時哈代空間等於上半平面上滿足下述性質的全純函數$F$

$\underset{y>0}{\sup }{(\underset{ℝ}{\int }|F(x+iy){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }$

左側的數定義為範數$\Vert F{\Vert }_{H^p}$。

參考文獻

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