HP滤波

HP滤波（Template:Lang-en或Template:Lang）是宏观经济学中用到的时间序列分析方法，尤其在Template:Tsl中较为常用。HP滤波可以从原始数据中分离出周期性的部分，并得到一条平滑的曲线来表述整个时间序列，即把对短期波动更敏感的数据转成了对长期波动更敏感的表示方式，改变乘数$\lambda$可以调整其敏感程度。20世纪90年代，两位经济学家Template:Tsl和诺贝尔奖得主爱德华·普雷斯科特发表了这种方法并受到学界欢迎。不过实际上早在1923年Template:Tsl就首次发表了该方法。

数学表述

这个方法的思想类似于Template:Tsl。令$\{y_t\},t=1,2,...,T$表示一组时间序列变量的对数，则$\{y_t\}$由一系列趋势项${\tau }_t$、周期项$c_t$和误差项${ϵ}_t$组成，即$y_t={\tau }_t+c_t+{ϵ}_t$。给定合适的正数$\lambda$，存在一个趋势项满足

$\underset{\tau }{\min }(\sum _{t=1}^T(y_t-{\tau }_t{)}^2+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}[({\tau }_{t+1}-{\tau }_t)-({\tau }_t-{\tau }_{t-1}){]}^2)$。

上式第一项表示变量偏离趋势项的误差$d_t=y_t-{\tau }_t$的平方和，从而控制了周期项的大小；第二项用乘子$\lambda$乘上趋势项二阶差分的平方和，从而控制了趋势项变化的剧烈程度。$\lambda$越大，后者的控制就越强。霍德里克和普雷斯科特建议季度数据$\lambda$取为1600，若单位不是季度则$\lambda$正比于每单位所含季度数的平方，即年度数据取100、月度数据取14,400。雷文（Ravn）和乌利希（Uhlig）则在2002年发表的文章中提出$\lambda$应该正比于数据每单位所含季度数的四次方，即年度数据$\lambda$应取6.25、月度数据取129,600。

麦克尔罗伊的一篇论文中给出了双侧HP滤波谱分解的精确数学表达式。

评价

HP滤波很容易实现，不过它也存在一定缺陷，只在以下严苛条件下才能做出最优估计：

• 时间序列是Template:Tsl的，否则HP滤波会得到偏离实际情况的趋势项。
  • 如果发生了单次的永久性冲击（permanent shock）或存在稳定的趋势增长率，HP滤波得到的周期项也会扭曲。
• 样本中的周期项是白噪音，或者趋势项和周期项中的随机变化机制相同。

标准的双侧HP滤波不应该用来估计基于递归状态空间表达的DSGE模型，这是因为HP滤波使用未来的观测$t+i,i>0$去构造当前时间点$t$的结果，但递归状态空间要求当前的观测仅基于当前和过去的状态。要解决这个问题，可以使用单侧HP滤波。

参见

• 带通滤波器
• 卡尔曼滤波

拓展阅读

• Template:Cite book
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外部链接

• 普雷斯科特给出的Fortran代码Template:Wayback
• Matlab实现Template:Wayback
• 单侧HP滤波的Matlab实现Template:Wayback
• R语言实现的HP滤波，包名mFilterTemplate:Wayback
• 在线进行HP滤波Template:Wayback