HOMFLY多項式

Template:Refimprove 在紐結理論中，HOMFLY多項式或HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的纽结多项式；透過變元代換，它可以涵括瓊斯多項式與亞歷山大多項式在三維的情形。

「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Przytycki 與 Traczyk。

拆接關係

HOMFLY多項式 $P_K(\ell ,m)=P(K)$ 由下述拆接關係唯一地定義：

$P(\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t})=1,$

$\ell P(L_{+})+{\ell }^{-1}P(L_{-})+mP(L_0)=0,$

其中unknot是平凡纽结； $L_{+},L_{-},L_0$ 代表結圖表在某個交點附近的性狀，如次圖所示：

上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式，亦可導出

$P(L_1\bigsqcup L_2)=\frac{-(l+l^{-1})}{m}P(L_1)*P(L_2)$

其它拆接關係

透過適當的變元代換，上節的拆接關係可換為

$\alpha P(L_{+})-{\alpha }^{-1}P(L_{-})=zP(L_0)$

或者

$xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_0)=0$

主要性質

與瓊斯多項式的關係：

$V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})$

與亞歷山大多項式的關係：

$\mathrm{\Delta }(t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})$

對鏡像與連通和的關係：

$P(L_1\mathrm{\#}{L}_2)=P(L_1)P(L_2),$

$P_K(\ell ,m)=P_{\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{(}\mathrm{K}\mathrm{)}}({\ell }^{-1},m)$

陈-西蒙斯理论

SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。

相關文獻

• Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4