5040

Template:NoteTA Template:整數 5040是5039及5041之間的自然數，為7的階乘($7!$)、Template:Tsl、Colossally過剩數和置換數($10\times 9\times 8\times 7=5040$)。

哲理

柏拉圖在法律篇指出5040是一個適合用來把東西除分的數字，可以用來劃分土地。他指出此數字跟2520一樣可由1至12（11除外）的之間所有自然數整除，他也發現此數字可由12整除兩次。柏拉圖多次主張5040是這個數字的用途有很多。

Template:Tsl認爲柏拉圖透過5040帶出高合成數的概念。

數字理論

如果$\sigma (n)$是除數函數及$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數，5040是最大已知符合此不等的數字Template:OEIS：

$\sigma (n)\ge e^{\gamma }n\log \log n$.

因爲在極限中有此公式：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\sigma (n)}{n\log \log n}=e^{\gamma }.$

所以這定理並不平常。

蓋伊·羅賓（Guy Robin）在1984年指出當且僅當黎曼猜想爲真，這個不等不適用於任何更大的數字。

數學意義

• 包括1和5040，5040有60個因數。

• 5040既是高合成數，又是階乘數的數，為最大符合此條件的數。
• 5040是42個連續的質數的總和（23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 +163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229）。
• 5040是數秘術中一個重要的數，尤其是與圓形和球體有關的數。地球半徑和月球半徑的總和是3960 + 1080 = 5040。

外部連結

• Mathworld 介紹柏拉圖數字的文章Template:Wayback