1 + 2 + 4 + 8 + …

在数学领域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} .

作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。

如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。

在历史和数学教育，Template:Nowrap是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数，其他的例子如Template:Nowrap。

求和

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和数列是 Template:Nowrap，由于该数列发散到无穷，所以部分和数列也发散到无穷。因此任何通常求和方法得到的和将是无穷，包括切萨罗求和法和阿贝尔求和法。^[1]

另一方面，有一种广义方法使得 Template:Nowrap 的和为有限值 -1。相应的幂级数

f (x) = 1 + 2 x + 4 x^{2} + 8 x^{3} + \dots + 2^{n} x^{n} + \dots = \frac{1}{1 - 2 x}

的收敛半径为 ¹/₂，因此它在 Template:Nowrap 时不收敛。然而，这样定义的函数 f 在去掉点 Template:Nowrap 后，具有到复平面唯一的解析开拓，并且具有相同的形式 Template:Nowrap。由于 Template:Nowrap，原级数 Template:Nowrap 是可求和的 (E)，其和为 −1，并且 -1 是级数的(E)和。（此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在无穷級數上的研究而得）^[2]

用几乎完全相同的方法可以考虑系数为 1 的幂级数，例如：

1 + y + y^{2} + y^{3} + \dots = \frac{1}{1 - y}

并用 y = 2 代入。当然这两个级数可由关系式 y = 2x 等价转换。

事实上(E)和为Template:Nowrap分配了一个有限值，这表明广义方法不是完全符合惯例的。另一方面，他具有某些求和法可取的性质，包括稳定性和线性性质。这些后面的两个公理实际上强制级数的和为 -1，因此它令下面的操作有效：

\begin{matrix} s & = & 1 + 2 + 4 + 8 + \dots \\ = & 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \dots) \\ = & 1 + 2 s \end{matrix}

在某种意义下，s = ∞ 是方程 Template:Nowrap的一个解（例如∞是黎曼球上莫比乌斯变换 Template:Nowrap 的两个不动点之一）。如果某种已知的求和方法返回一个常数s，例如不是∞，那么这是容易确定的。在这种情形下s可能由方程的两边消去，得到 Template:Nowrap，所以 Template:Nowrap。^[3]