1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

Template:Expert Template:Refimprove Template:NoteTA 數學上，1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...是一無窮級數，在數學史上是其中一個較早給算出總和的例子，由阿基米德於公元前250-200年發現，其總和為1/3。一般來說，對於任何一個 a，若等比數列的第一項是 a，而公比為1/4，其收斂總和如下：

$a+\frac{a}{4}+\frac{a}{4^2}+\frac{a}{4^3}+\cdots =\frac{4}{3}a.$

圖像示範

3s = 1

通常以正方形和三角形來展示「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...」這一無窮級數；將一個正方形或一個三角形分成四等分，每一分的面積為原先的四分一，並不斷重複（如圖左）。

假設圖左的正方形面積為1，則最大的黑色正方形面積為（1/2）x（1/2）= 1/4。同樣地，第二大黑色正方形的面積為1/16，第三大黑色正方形面積為1/64。如此類推，黑色正方形占的所有面積為1/4 + 1/16 + 1/64 + ...，這也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面積。由於這三種顏色的正方涵蓋正個原先的正方形，數學上寫成：

$3(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots )=1.$

3s = 1

同樣的幾何方法也適用於三角形，如圖右。如果大三角形的面積為1，則最大的黑色三角形的面積為 1/4，依此類推。另外，整個圖案與其中的上部分次小三角形中的圖案，具有自相似的性質。若圖案不斷重複，將形成一個謝爾賓斯基三角形。

阿基米德

拋物線的求積

阿基米德在其《拋物線的求積》中，以穷竭法求拋物線內的面積，在過程中牽涉到一系列的三角形。左圖有一拋物線，其中AE為割線，被分成相等線段，阿基米德證明三角形CDE和三角形ABC的和是三角形ACE面積的 1/4。然後，他分別在三角形CDE和三角形ABC上相似地各畫上兩個三角，這四個三角的面積總和為三角形CDE和三角形ABC的 1/4。如此類推，他證明拋物線與割線之間的面積是三角形ACE的4/3。

命題23：設一系列的面積 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大，而每個面積為下一個面積的4倍，則：

$A+B+C+D+\cdots +Z+\frac{1}{3}Z=\frac{4}{3}A.$

為證明以上命題，阿基米德先計算：

$\begin{array}{ccc}B+C+\cdots +Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots +\frac{Z}{3}& =& \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots +\frac{4Z}{3}\\ & =& \frac{1}{3}(A+B+\cdots +Y).\end{array}$

別一方面：

$\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots +\frac{Y}{3}=\frac{1}{3}(B+C+\cdots +Y).$

將這方程式減去之前的方程式：

$B+C+\cdots +Z+\frac{Z}{3}=\frac{1}{3}A$

再在方程式兩面各加上A，以得到最終結果

現今，1 + 1/4 + 1/16 + ... 的標準寫法如下：

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{4^n}=\frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}.$

參考書目

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