龙格-库塔法

数值分析中，龙格-库塔法（英文：Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

四阶龙格-库塔法

在各種龙格－库塔法當中有一個方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。

令初值问题表述如下。

$y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0$

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

其中

$k_1=f(t_n,y_n)$

$k_2=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_1)$

$k_3=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_2)$

$k_4=f(t_n+h,y_n+h{k}_3)$

这样，下一个值（y_n+1）由现在的值（y_n）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

• k₁是时间段开始时的斜率；
• k₂是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k₁来决定y在点t_n + h/2的值；
• k₃也是中点的斜率，但是这次采用斜率k₂决定y值；
• k₄是时间段终点的斜率，其y值用k₃决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

$\text{slope}=\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}.$

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h⁵阶，而总积累误差为h⁴阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

显式龙格-库塔法

显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{k}_i,$

其中

$k_1=f(t_n,y_n),$

$k_2=f(t_n+c_{2}h,y_n+a_{21}h{k}_1),$

$k_3=f(t_n+c_{3}h,y_n+a_{31}h{k}_1+a_{32}h{k}_2),$

$⋮$

$k_s=f(t_n+c_{s}h,y_n+a_{s1}h{k}_1+a_{s2}h{k}_2+\cdots +a_{s,s-1}h{k}_{s-1}).$

（注意：上述方程在不同著述中有不同但等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数 a_ij（对于1 ≤ j < i ≤ s）, b_i（对于i = 1, 2, ..., s）和c_i（对于i = 2, 3, ..., s）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为Butcher tableau（得名自Template:Le）：

	0
	$c_2$	$a_{21}$
	$c_3$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$⋮$	$⋮$		$\ddots$
	$c_s$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_1$	$b_2$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_s$

龙格－库塔法是自洽的，如果

$\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}=c_i\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}i=2,\dots ,s.$

如果要求方法的精度為p階，即截斷誤差為O(h^p+1)的，则还有相应的条件。这些可以从截斷誤差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, 以及b₂a₂₁ = 1/2。

例子

RK4法处于这个框架之内。其表为：

	0
	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1	0	0	1
		1/6	1/3	1/3	1/6

然而，最简单的龙格－库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式為$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$。这是唯一自洽的一级显式龙格－库塔法。相应的表为：

	0
		1

隐式龙格-库塔法

以上提及的显式龙格－库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格－库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格－库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格－库塔法，一般而言，隐式龙格－库塔法具有以下形式：

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{k}_i,$

其中

$k_i=f(t_n+c_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{k}_j),i=1,\dots ,s.$

在显式龙格－库塔法的框架里，定义参数$a_{ij}$的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格－库塔法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：

$\begin{array}{ccccc}{c}_1& a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2& a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2s}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_s& a_{s1}& a_{s2}& \dots & a_{ss}\\ & b_1& b_2& \dots & b_s\end{array}=\begin{array}{cc}𝐜& A\\ & {𝐛}^{𝐓}\end{array}$

需要注意的是，与显式龙格－库塔法不同，隐式龙格－库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程組，这相应的增加了计算的成本。

参考

• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)