刚性方程

在数学領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。

在積分微分方程時，若某一區域的Template:Le的變化很大，會希望在這個區域的積分間隔密一些，若另一區域的曲線近似直線，且斜率接近零，會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題，就算曲線近似直線，仍然需要用非常小的積分間隔來積分，這種現象稱為「剛性」。有時可能會出現兩個不同問題，一個有「剛性」，另一個沒有，但兩個問題卻有同一個解的情形。因此「剛性」不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以稱為是刚性系統。

範例

在求解一個刚性常微分方程時，用顯式方法出現的不穩定情形

考虑下面的初值问题：

$y^{\prime }(t)=-15y(t),t\ge 0,y(0)=1$

其精确解是

$y(t)=e^{-15t}$，并且显然当$t\to \mathrm{\infty }$时$y(t)\to 0$。

會希望数值解能够具有相同的特性。

若以歐拉方法來求數值解，則使用不同的步长（step size）將會得到不同的結果。第一种，步长$h=1/4$的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为$h=1/8$时，得到的结果在图的范围以内。但是它依然在0附近震荡，并且不可能表示精确的解。

而梯形法，即两阶段Template:Le，表达为

$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}h(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})).$

其求得的結果比欧拉法的結果要好很多。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。

特征

剛性系統的特色是該系統所有特征值的实部均为负数，并且其中特征值实部絕對值中，最大和最小的比值远大于1。

龙格－库塔法

Template:Main 將龍格－庫塔法應用至測試方程$y^{\prime }=k\cdot y$，可以得到如$y_{n+1}=\varphi (hk)\cdot y_n$的形式，並可歸納出$y_n=(\varphi (hk){)}^n\cdot y_0$，其中$\varphi$稱為穩定性函數。因此$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=0$的條件等價於$|\varphi (hk)|<1$。這啟發了絕對穩定區域（有時簡稱為穩定區域）的定義，亦即集合$\{z\in ℂ||\varphi (z)|<1\}$。

若一個方法的穩定區域包含$\{z\in ℂ|\mathrm{R}\mathrm{e}(z)<0\}$（即左半平面），則稱該方法為Template:Internal link helper/en。

例子: 欧拉与梯度法

粉紅色的圓形區域為歐拉方法的穩定區域。

粉紅色的區域為梯形法的穩定區域。

参见

• 顯式法及隱式法
• 条件数
• 微分包含式

参考资料

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外部链接

• An Introduction to Physically Based Modeling: Energy Functions and StiffnessTemplate:Wayback