黎曼ξ函數

複平面中的黎曼ξ函數$\xi (s)$。複平面中的點$s$，其色彩代表了該點的函數值；較暗的顏色表示其值接近於零，而色調表示了函數值的幅角。

數學中，黎曼ξ函數（Template:Lang-en）是黎曼ζ函數的變型，其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德·黎曼。

定義

愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數（另參見下方），而蘭道的小寫ξ函數則定義為：

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s)$，

其中

• $s\in ℂ$；
• ζ(s)為黎曼ζ函數；
• Γ(s)為伽瑪函數。

蘭道的小寫ζ函數的泛函方程式（或稱Template:Le）為

$\xi (1-s)=\xi (s)$。

蘭道的大寫Ξ函數（loc. cit., §71）為

$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi)$

遵守泛函方程式：

$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z)$。

一如蘭道所寫（loc. cit., p. 894），Ξ函數即原先的黎曼ξ函數。

函數值

當s為偶數，亦即s = 2n，ξ(s)一般式為

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n^2-n)(n-1)!$

其中B_n為第n個伯努利數。

例如：

$\xi (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$

級數表示式

$\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n$

其中

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n]$

相關條目

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