高斯二项式系数

Template:Expand 高斯二项式系数 (也称作 高斯系数, 高斯多项式, 或 q-二项式系数)在数学里是指二项式系数的q-模拟。

定义

高斯二项式系数被定义为：

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})}_q=\{\begin{array}{cc}\frac{(1-q^m)(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^r)}& r\le m\\ 0& r>m\end{array}$

其中， m 和 r 是非负整数。 当 Template:Nowrap时值为1。

高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目，则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q.$

示例

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})}_q={(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})}_q=1$

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})}_q=\frac{1-q}{1-q}=1$

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})}_q=\frac{1-q^2}{1-q}=1+q$

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})}_q=\frac{1-q^3}{1-q}=1+q+q^2$

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})}_q=\frac{(1-q^3)(1-q^2)}{(1-q)(1-q^2)}=1+q+q^2$

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})}_q=\frac{(1-q^4)(1-q^3)}{(1-q)(1-q^2)}=(1+q^2)(1+q+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4$

性质

和普通二项式系数一样, 高斯二项式系数是中心对称的:

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})}_q={(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m-r})}_q.$

特别地,

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{0})}_q={(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m})}_q=1,$

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})}_q={(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m-1})}_q=\frac{1-q^m}{1-q}=1+q+\cdots +q^{m-1}m\ge 1.$

当 Template:Nowrap 时，有

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})}_1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})$

参考文献

• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538

• Template:Cite web (undated, 2004 or earlier).
• Ratnadha Kolhatkar, Zeta function of Grassmann Varieties Template:Wayback (dated January 26, 2004)
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