餘代數

在數學中，餘代數是帶單位元的結合代數的對偶結構，後者的公理由一系列交換圖給出，將這些圖中的箭頭反轉，便得到餘代數的公理。

餘代數的概念可用於李群及群概形等領域中。

定義

形式上來說，域 $K$ 上的餘代數是一個 $K$-向量空間 $C$ 及 $K$-線性映射 $\mathrm{\Delta }:C\to C{\otimes }_{K}C$（餘乘法）與 $ϵ:C\to K$（餘單位元），使得：

1. $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_C\otimes \mathrm{\Delta })\circ \mathrm{\Delta }=(\mathrm{\Delta }\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_C)\circ \mathrm{\Delta }$
2. $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_C\otimes ϵ)\circ \mathrm{\Delta }={\mathrm{i}\mathrm{d}}_C=(ϵ\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_C)\circ \mathrm{\Delta }$.

等價的說法是：以下圖表交換：

在第一個圖表中，我們等同了 $C\otimes (C\otimes C)$ 與 $(C\otimes C)\otimes C$；同理，在第二個圖表中，我們等同了 $C$、$C\otimes K$ 與 $K\otimes C$。

第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本，稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。

Sweedler 記法

處理餘代數時，以下記法可以大大地簡化式子，稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 $(C,\mathrm{\Delta },ϵ)$ 中的一個元素 $c$，存在一族元素 $c_{(1)}^i,c_{(2)}^i\in C$，使得

$\mathrm{\Delta }(c)=\sum _i{c}_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.$

在 Sweedler 記法中，上式寫作

$\mathrm{\Delta }(c)=\sum _{(c)}{c}_{(1)}\otimes c_{(2)}.$

舉例明之，餘單位元 $ϵ$ 之公理可表成

$c=\sum _{(c)}ϵ(c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}{c}_{(1)}ϵ(c_{(2)}).$

餘乘法 $\mathrm{\Delta }$ 則可表成

$\sum _{(c)}{c}_{(1)}\otimes (\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)}{)}_{(1)}\otimes (c_{(2)}{)}_{(2)})=\sum _{(c)}(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)}{)}_{(1)}\otimes (c_{(1)}{)}_{(2)})\otimes c_{(2)}.$

在 Sweedler 記法中，這些式子都被寫作

$\sum _{(c)}{c}_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.$

一些作者會省略求和符號，此時 Sweedler 記法表成

$\mathrm{\Delta }(c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}$

與

$c=ϵ(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}ϵ(c_{(2)}).$

相關文獻

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0