顺序统计量

Template:Expand 在统计学中，样本的第$k$顺序统计量（Template:Lang-en）即它从小到大排列时的第$k$个值，常用于非参数估计与推断中。常见的顺序统计量包括样本的最大值、最小值、中位数等。

记号

任给样本$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，将其从小到大排成一列，记为：$$x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}.$$则其第一顺序统计量（即最小值）为$x_{(1)}$，第$n$顺序统计量（即最大值）为$x_{(n)}$。

概率

随机变量$X_{(k)}$的累积分布函数$F_k(x)$由下式给出$$F_k(x)=\sum _{j=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(F(x){)}^j(1-F(x){)}^{n-j},x\in ℝ,$$ 将累积分布函数求导可得其概率密度函数$f_k(x)$为 $$f_k(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}(F(x){)}^{k-1}(1-F(x){)}^{n-k}f(x),x\in ℝ.$$

連續均勻樣本

從单位区间上的連續型均勻分布取得的樣本，其各順序統計量的边缘分布屬於Β分布族。此外，任意幾個順序統計量的联合分布也有簡單的表示。本節將作介紹。藉賴累积分布函数（cdf），該些結果亦可推廣到任意連續分佈。

本節中，$X_1,X_2,\dots ,X_n$表示以$F_X$為cdf的一組隨機樣本。記$U_i=F_X(X_i)$，則$U_1,\dots ,U_n$是從標準連續均勻分布抽取的對應樣本。由$F_X$的單調性，後者的順序統計量為$U_{(i)}=F_X(X_{(i)})$。

順序統計量$U_{(k)}$的概率密度函數（pdf）等於

$f_{U_{(k)}}(u)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}{u}^{k-1}(1-u{)}^{n-k}.$

換言之，均勻分佈的第$k$順序統計量遵循Β分布

$U_{(k)}\sim \mathrm{Beta}(k,n+1\mathbf{-}k).$

證明如下：欲使$U_{(k)}$介乎$u$與$u+\mathrm{d}u$之間，樣本須恰有$k-1$個元素小於$u$，並至少有一個介乎$u$與$u+\mathrm{d}u$之間。該區間包含多於一個元素的概率已是$O(\mathrm{d}{u}^2)$（使用了大O符號），故衹需計算$(0,u)$、$(u,u+du)$、$(u+du,1)$三區間分別恰有$k-1$、$1$、$n-k$個元素的概率。此即Template:Link-en概率

$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}{u}^{k-1}\cdot \mathrm{d}u\cdot (1-u-\mathrm{d}u{)}^{n-k},$

故上述pdf公式成立。該分佈的平均值為$k/(n+1)$。