霍爾婚配定理

数学上，霍爾婚配定理Template:註（Template:Lang-en）是菲利浦·霍爾最先證明^[1]的圖論定理，又稱霍爾定理^[2]，描述二分图中，能將一側全部頂點牽線匹配到另一側的充要條件。定理另有一個等價的組合敍述，確定一族有限集合在何種充要條件下，可自每個集合各揀選一個元素，而使所選元素兩兩互異（即沒有元素是重復的）。

集族表述

設 $S$ 為 $X$ 的有限子集 Template:註組成的有限Template:註多重 Template:註族。

$S$ 的一個Template:Link-en是 $S$ 至 $X$ 的單射，且該單射 $f$ 將族中任意集合 $s \in S$ 映至該集合的某元素 $f (s)$ 。換言之， $f$ 從 $S$ 中每個集合，選出一個代表元，使得不同的集合由不同元素代表（「單射」之義）。代表系又稱為「截面」或「遍歷」（Template:Lang）。

族 $S$ 滿足霍爾條件，意思是對每個子族 $W \subseteq S$ ，有

| W | \leq | ⋃_{A \in W} A | .

用文字複述，該條件斷言對於 $S$ 的每個子族，其各集合一共擁有的不同成員數，不小於該子族的集合數。若不滿足該條件，則不存在代表系，因為在某子族 $W$ （設有 $k$ 個集合）中，各集合一共衹有少於 $k$ 個互異元素，如此由鴿巢原理，為 $k$ 個集合所選的 $k$ 個代表元之中，必有兩者相等。霍爾定理說明，前述命題的否命題也成立，即若滿足霍爾條件，則必存在代表系。

霍爾定理：一族有限集有代表系，當且僅當其滿足霍爾條件，即其任意子族皆滿足以上不等式。

證明見Template:Section link。

例

例一：考慮集族 $S = {A_{1}, A_{2}, A_{3}}$ ，其中

\begin{matrix} A_{1} & = {1, 2, 3}, \\ A_{2} & = {1, 4, 5}, \\ A_{3} & = {3, 5} . \end{matrix}

合適的代表系有 $(1, 4, 5)$ ，但並不唯一，例如 $(2, 1, 3)$ 亦可。

例二：考慮 $S = {A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}}$ ，其中

\begin{matrix} A_{1} & = {2, 3, 4, 5}, \\ A_{2} & = {4, 5}, \\ A_{3} & = {5}, \\ A_{4} & = {4} . \end{matrix}

此時，無合適的代表系。子族 $W = {A_{2}, A_{3}, A_{4}}$ 違反霍爾條件，因為該族有 $| W | = 3$ 個集合，但該三個集之並為 $A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} = {4, 5}$ ，僅得兩個元素。

例三：同樣設 $S = {A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}}$ ，但換成

\begin{matrix} A_{1} & = {1, 2, 3}, \\ A_{2} & = {2, 4}, \\ A_{3} & = {1, 2, 4}, \\ A_{4} & = {2, 4} . \end{matrix}

此時， $A_{2}$ 與 $A_{4}$ 的代表必為 $2, 4$ 或逆序，從而 $A_{3}$ 的代表須為 $1$ 。所以，合適的代表系有且衹有 $(3, 2, 1, 4)$ 或 $(3, 4, 1, 2)$ 。

命名

定理命名為「婚配」（Template:Lang），是與以下例子有關。設有兩組人，一組 $n$ 男，一組 $n$ 女。每名女士心目中皆有一份名單（若干男士組成的子集），會接受名單中的男士的求婚，但會拒絕其他人。而該些男士別無所求，願意向任何女士求婚。媒人希望判斷是否存在方案，在尊重諸位女士的意願的前提下，將該兩組人撮合成 $n$ 對夫妻Template:註。

以 $A_{i}$ 表示第 $i$ 名女士願意接受的男士集合，則霍爾定理講述，存在方案使每位女士與心儀對象結婚，且無重婚，當且僅當對於任意若干位女士組成的集合 $I$ ，願意與其中至少一位女士結婚的男士數 $| ⋃_{i \in I} A_{i} |$ ，不小於該集合的女士數 $| I |$ 。

後一個條件為必要，否則該 $| I |$ 名女士根本無法找到足夠的配偶。較不明顯的是，該條件亦為充分，此即霍爾定理的肯綮。

圖論表述

設 $G$ 為有限二部圖，頂點集分為 $X$ 、 $Y$ 兩部，以符號記為 $G = (X ⊔ Y, E)$ 。 $X$ 完美匹配是圖上若干條邊組成的匹配，其兩兩無公共端點，且 $X$ 的每個頂點各有一條邊在該匹配中。

對於 $X$ 的任意子集 $W$ ，設 $N_{G} (W)$ 為 $W$ 在 $G$ 中的Template:Link-en，即 $Y$ 中與 $W$ 至少一點有連邊的全體頂點之集。霍爾定理斷言，存在 $X$ 完美匹配，当且仅当對 $X$ 的每個子集 $W$ ，皆有：

| W | \leq | N_{G} (W) | .

換言之，與 $W$ 相鄰的頂點，不少於 $W$ 的頂點。上述不等式稱為霍爾條件。

證明

「 $⟹$ 」：假設有匹配 $M$ ，覆蓋頂點集 $X$ 。欲證霍爾條件對全部 $W \subseteq X$ 成立。記 $M (W)$ 為 $W$ 經 $M$ 匹配到的頂點集，其為 $Y$ 的子集。由匹配的定義，必有 $| M (W) | = | W |$ ，同時 $M (W) \subseteq N_{G} (W)$ ，因為 $M (W)$ 的元素皆為 $W$ 的鄰舍。故 $| N_{G} (W) | \geq | M (W) |$ ，即 $| N_{G} (W) | \geq | W |$ 。

「 $⟸$ 」：假設無 $X$ 完美匹配，欲證有某子集 $W \subseteq X$ 違反霍爾條件。設 $M$ 為極大匹配，換言之，若再添加任何一條邊，則不再為匹配。設 $u$ 為 $X$ 中未獲覆蓋的頂點。考慮由 $u$ 出發的全體「交錯路徑」，即圖 $G$ 中的路徑，其首邊不屬 $M$ ，次邊屬於 $M$ ，第三邊又不屬 $M$ ，如此交錯排列。 $u$ 藉該些交錯路徑，與 $Y$ 中若干頂點相連，該些頂點組成的子集記為 $Z$ ；又與 $X$ 中若干頂點相連（此處 $u$ 亦視為與自己相連），得子集 $W$ 。極長Template:註的交錯路徑不能終於 $Y$ ，否則其首尾皆不屬 $M$ ，故為「增廣路徑」：翻轉路徑上所有邊的狀態，將不屬 $M$ 者加入 $M$ ，屬 $M$ 者移走，則得到嚴格比 $M$ 多邊的匹配，此為不可能。至此，已證 $Z$ 中每個頂點，皆經 $M$ 匹配到 $W ∖ {u}$ 中某頂點。反之， $W ∖ {u}$ 中任意一個頂點，亦有 $Z$ 中某頂點與之匹配，即沿 $u$ 至 $v$ 的交錯路徑， $v$ 的前一頂點。所以， $M$ 給出 $W ∖ {u}$ 與 $Z$ 之間的一一對應，所以 $| W | = | Z | + 1$ 。另一方面，將證明 $N_{G} (W) \subseteq Z$ 。設 $v \in N_{G} (W)$ 是與某頂點 $w \in W$ 鄰接。若邊 $w v$ 在 $M$ 中，則自 $u$ 至 $w$ 的一切交錯路徑中， $v$ 皆在 $w$ 以先，故有 $u$ 至 $v$ 的交錯路徑。否則 $w v$ 不屬 $M$ ，但已知有 $u$ 至 $w$ 的交錯路徑，末邊屬於 $M$ ，故可續以 $w v$ ，亦得自 $u$ 至 $v$ 的交錯路徑。證畢 $N_{G} (W) \subseteq Z$ ，故 $| N_{G} (W) | \leq | Z | = | W | - 1 < | W |$ ，違反霍爾條件。

算法

若 $X$ 的子集 $W$ 滿足 $| N_{G} (W) | < | W |$ ，則定義 $W$ 為Template:Link-en。若 $W$ 為霍爾犯，則無匹配能覆蓋 $W$ 的全部頂點。所以，也無匹配覆蓋 $X$ 。霍爾定理斷言，二部圖有 $X$ 完美匹配，當且僅當其不含任何霍爾犯。以下算法驗證定理較難的方向：輸入一幅二部圖，算法或輸出一個 $X$ 完美匹配，或輸出一個霍爾犯。

該算法調用以下子程序：輸入匹配 $M$ 及未匹配的某頂點 $x_{0} \in X$ ，或輸出一條 $M$ 增廣路徑，或輸出一個霍爾犯。該子程序可以深度优先搜索實作。

以下敍述算法的步驟：

初始時，設 $M$ 為空集，未選定任何邊。（其後會加邊入 $M$ 。）
檢查： $M$ 確為 $G$ 的匹配。
若 $M$ 已覆蓋 $X$ ，則為所求的 $X$ 完美匹配，輸出並結束程序。
否則，找到未匹配的頂點 $x_{0} \in X ∖ V (M)$ 。
調用尋找增廣路徑的子程序，視乎情況：
1. 若找到霍爾犯，則輸出並結束。
2. 若找到 $M$ 增廣路徑，則將該路徑上各邊的狀態翻轉，使 $M$ 的邊數增加一。返回第2步。

每次找到增廣路徑，都會使 $M$ 多一條邊。所以，前述算法的迴圈至多執行 $| X |$ 次，就會停機。每次尋找增廣路徑需時 $𝒪 (| E |)$ 。總時間複雜度與不加權的Template:Link-en的福特-富爾克森算法相約。

兩種表述等價

設 $S = (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n})$ ，其中 $A_{i}$ 皆為有限集，不必相異。相應地，構造二部圖 $G$ ，一側頂點集 $X = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ 對應該 $n$ 個集合，另一側頂點集 $Y$ 為該些集合之並。若 $A_{i}$ 有元素 $y \in Y$ ，則在圖中連一條邊 $v_{i} y$ 。如此，族 $S$ 的代表系即是 $G$ 的 $X$ 完美匹配，覆蓋 $X$ 的全部頂點。所以，以集族表述的霍爾問題，容易化成圖論表述的霍爾問題。反之亦然：給定二部圖 $G = (X ⊔ Y, E)$ ， $X$ 完美匹配相當於Template:Le族 ${Γ (x) : x \in X}$ 的代表系。

其他證明

利用Template:Le的Template:Le，可得霍爾定理的非構造性證明。^[3]Template:Rp

應用

定理有許多「非婚」應用。例如，取一疊啤牌（無鬼牌），洗勻後，派成13磴，每磴4張。由霍爾定理可證，必能從每磴揀選一張牌，使所選13張牌恰好出齊各點數（A、2、3、⋯⋯、Q、K）。更一般地，任意正則二部圖（允許重邊）皆有完美匹配。^[4]Template:Rp

較抽象的應用有雙邊陪集遍歷。設 $G$ 為群， $H$ 為其有限指數子群，則霍爾定理適用於證明存在集合 $T$ ，既是 $H$ 各左陪集的代表系，又是各右陪集的代表系。^[5]

霍爾定理亦用於證明，若 $r < n$ ，則任意 $r \times n$ Template:Link-en皆可擴展成 $(r + 1) \times n$ 拉丁矩陣，並可重複，直至得到完整的拉丁方陣。^[6]

加強

無窮族

Template:Link-en細察菲利浦·霍爾 Template:註原先的證明，發現可以將結論修改成對（有限集組成的）無窮族 $S$ 仍成立。^[9]該證明直接使用佐恩引理。此外，也有較簡短的證明，用到命題邏輯的緊緻性定理：^[10]

設 $S = {A_{i} : i \in I}$ 。對每個 $i \in I$ 和 $a \in A_{i}$ ，以命題 $p_{a, i}$ 表示「 $a$ 選為 $A_{i}$ 的代表」。可以列出代表系須滿足的條件如下：

對應每個 $i \in I$ ，各有一條命題斷言恰有一個 $a \in A_{i}$ 使 $p_{a, i}$ 為真Template:註；
對應每對互異的 $i, j \in I$ 和 $a \in A_{i} \cap A_{j}$ ，各有一條命題為 $\neg (p_{a, i} \land p_{a, j})$ 。

如此，代表系即等價於同時滿足以上各命題的賦值。由有限族的霍爾定理，對 $I$ 的任意有限子集 $J$ ，相應的有限子族有代表系，故以上命題中，任意有限條皆可同時滿足。所以，由緊緻性定理，全部命題可同時滿足，即有整個無窮族的代表系。

以上一般情況的證明中，選擇公理（或等價命題如佐恩引理）為必須，因為給定一族無窮多個非空集（無額外條件），欲從每個集合中，選出一個代表（而無須相異），已需要選擇公理。

無窮集

馬歇爾·霍爾給出下列反例，表明若允許有無窮集，則所組成的無窮族，即使滿足霍爾條件，亦不保證有代表系。

設族 $S$ 由可數多個集合 $A_{0} = {1, 2, 3, \dots}, A_{1} = {1}, A_{2} = {2}, \dots, A_{i} = {i}, \dots$ 構成。該族滿足霍爾條件，但無法選出代表系。^[9]

若妥為敍述，則的確可將霍爾定理推廣至適用於無窮集。給定二部圖，兩側頂點集為 $A, B$ ，若由 $B$ 的子集 $C$ 出發，在圖中找到單射（意思是衹能用二部圖的邊），射向 $A$ 的子集 $D$ ，則稱 $C \leq D$ ，而若更甚者，圖中沒有反向的，由 $D$ 至 $C$ 的單射，則稱 $C < D$ 。前述定義中，若忽略「在圖中」三字，則所得大小的概念等同一般基數的大小比較。無窮集的婚配定理斷言：^[11]

圖中有 $A$ 至 $B$ 的單射，當且僅當對每個 $D \subseteq A$ ，皆有其鄰域 $N (D) ≮ D$ 。

代表系的數目

馬歇爾·霍爾也計算出給定有限族 $S$ 的代表系數目的下界，從而加強婚配定理。其敍述為：^[12]

設有一列有限集 $(A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n})$ ，不必相異，但滿足霍爾條件，又設 $| A_{i} | \geq r$ 對 $i = 1, \dots, n$ 成立。則當 $r \leq n$ 時，該族有限集至少有 $r!$ 個不同的代表系，而當 $r > n$ 時，至少有 $r (r - 1) \dots (r - n + 1)$ 個。

此處即使兩個代表系的元素一樣，衹要其次序不同，亦視為不同。例如，若 $A_{1} = {1, 2, 3}$ ， $A_{2} = {1, 2, 5}$ ，則 $(1, 2)$ 和 $(2, 1)$ 為兩個不同的代表系。

分數匹配

圖的分數匹配（Template:Lang）是對各邊賦予非負權值，使每個頂點所連各邊的權值和不超逾 $1$ 。所謂 $X$ 完美的分數匹配，即是使 $X$ 中的每一頂點處，各邊權之和恰為 $1$ 。對於二部圖 $G = (X ⊔ Y, E)$ ，下列各項等價：^[13]

$G$ 有 $X$ 完美匹配。
$G$ 有 $X$ 完美分數匹配。（此為前項的直接推論。給定一個 $X$ 完美匹配，將該匹配所選的邊賦權 $1$ ，其餘邊賦 $0$ ，則得到 $X$ 完美分數匹配。）
$G$ 滿足霍爾條件。（若有前項的分數匹配，則對於 $X$ 的每個子集 $W$ ，其所連各邊之和恰為 $| W |$ ，故至少要與對面的 $| W |$ 個頂點相連，因為對面每個頂點所連的邊值和不超過 $1$ 。）

虧缺

Template:Main

假如霍爾條件不成立，則原定理僅斷言不存在完美匹配，但並未說明匹配最大可以多大。欲知此事，需要考慮Template:Link-en。對於二部圖 $G = (X ⊔ Y, E)$ ， $G$ 關於 $X$ 的虧度（Template:Lang）是 $| W | - | N_{G} (W) |$ 的最大值，其中 $W$ 可取 $X$ 的任意子集。虧度越大，則圖離霍爾條件越遠。

用霍爾定理可證，若二部圖的虧度為 $d$ ，則有大小為 $| X | - d$ 的匹配。（考慮在 $Y$ 側添加 $d$ 個輔助點，與 $X$ 所有頂點連邊。新圖將滿足霍爾條件。）

非二部圖

若推廣至一般的圖（不必為二部圖），則其上有完美匹配的充要條件，由塔特定理描述。
若推廣至各類Template:Link-en（二部圖的超圖版本），則相應有各種Template:Link-en。

註

Template:備註表

參考文獻

Template:Reflist

站外鏈結

Cut-the-knot站，Marriage Theorem Template:Wayback
Cut-the-knot站，Marriage Theorem and Algorithm Template:Wayback
Lucky的筆記Hall's marriage theorem explained intuitively Template:Wayback.

Template:Planetmath

[hall-1] Template:Cite journal

[2] Template:Cite book

[3] Template:Cite journal

[4] Template:Cite web

[5] Template:Cite journal

[6] Template:Cite journal

[7] Template:Cite web

[8] Template:Harvnb

[#1-9] 9.0 ^9.1 Template:Harvnb

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[13] Template:Cite web

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