離心率向量

Template:Multiple issues Template:NoteTA 在航天動力學裏，一個圓錐曲線的離心率向量是一個向量，從焦點指向近拱點，量值等於軌道的離心率純量，是個無因次量。

計算

離心率向量 (eccentricity vector) $𝐞$ 是個大小等於軌道離心率 (eccentricity ) 且方向指向近心點 (periapsis 或 pericenter) 的向量。對克卜勒軌道而言，它是個運動常數。在使用狀態向量 ($𝐫,𝐯$) 進行軌道測定或軌道決定 (orbit determination, OD) 時，它可以決定諸多與運動有關的軌道要素，如離心率 ($e$) (eccentricity) 及半長軸 ($a$) (semi-major axis)，並可指出近心點方向，以便計算近心點引數 $\omega$ (argument of periapsis)、真近心點離角(真近點角) $\nu$ (true anomaly)。在攝動或擾動 (perturbation) 分析時, 因為實際軌道上的攝動（非克卜勒）力將使密切 (osculating) 離心率向量不斷變化，故用來分析幾乎為圓形的軌道時非常有用。該向量可以由任何時間$t$的軌道狀態向量（Template:Lang）中的速度向量$𝐯$與位置向量$𝐫$計算出來:

$\begin{array}{cc}𝐞& =\frac{𝐯\times 𝐡}{\mu }-\frac{𝐫}{\left|𝐫\right|}\\ & =(\frac{{\left|v\right|}^2}{\mu }-\frac{1}{\left|𝐫\right|})𝐫-\frac{𝐫\cdot 𝐯}{\mu }𝐯\\ \end{array}$

第二個等式可以直接根據以下向量恆等式(運算並分別集結位置和速度分量後)推導出來:

$𝐡=𝐫\times 𝐯$

$𝐯\times (𝐫\times 𝐯)=(𝐯\cdot 𝐯)𝐫-(𝐫\cdot 𝐯)𝐯$

其中:

• $𝐫$ 為 位置向量 (position vector)
• $𝐯$ 為 速度向量 (velocity vector)
• $𝐡$ 為 比角動量向量 (specific angular momentum vector) ($𝐡=𝐫\times 𝐯$)
• $\mu$ 為 標準重力參數 (standard gravitational parameter)。

換另一種表示方法，離心率向量也可以由質量為$m$的物體的角動量$𝐋=𝐫\times m𝐯(=m𝐡)$計算出來：

$𝐞=\frac{𝐯\times 𝐋}{m\mu }-\frac{𝐫}{\left|𝐫\right|}$。

參閱

• 離心率
• 軌道
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量