雙積

在範疇論中，雙積是直積在預加法範疇中的推廣，它同時是範疇論意義下的積與上積。

定義

令 $𝒞$ 為預加法範疇，因而任兩個對象 $A,B$ 間的態射集 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)$ 是交換群。給定有限個對象 $A_1,\dots ,A_n$，假設有：

• 對象 $A$，通常表作 $A_1\oplus \cdots \oplus A_n$。
• 態射 $p_k:A\to A_k$（稱為射影）
• 態射 $i_k:A_k\to A$（稱為內射）

並假設：

• $i_1\circ p_1+\dots i_n\circ p_n={\mathrm{i}\mathrm{d}}_A$
• $p_k\circ i_k={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{A_k}$
• $k\ne l\Rightarrow p_k\circ i_l=0$

則稱 $A$ 是 $A_1,\dots ,A_n$ 的雙積。

注意到若在定義中取 $n=0$，則「空雙積」是一個對象 $0$，使得恆等映射是零映射。

例子

• 交換群範疇中存在雙積，此時的雙積即直和。
• 一個域或除環上的向量空間也有雙積，即向量空間的直和。

性質

• 如果空雙積存在，並且所有二元雙積 $A_1\oplus A_2$ 存在，則所有雙積皆存在。
• 預加法範疇中的雙積同時是範疇意義下的積與上積，這是雙積一詞的由來。由此可導得空雙積是零對象。
• 反之，預加法範疇中的積或上積也帶有自然的雙積結構。