雅可比三重乘积

Template:Multiple issues 雅可比三重乘积是由德国数学家卡尔·雅可比在对theta函数和q-模拟的研究中发现的有关一个三重无穷乘积的恒等式，形如

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2k})(1+q^{2k-1}{z}^{-2})(1+q^{2k-1}{z}^{+2})=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k^2}{z}^{2k}$

其中$q<|1|$在单位圆盘内，而$z\ne 0$非零。 它也可以用Q-函数或者q-珀赫哈默尔符号描述，

$Q_1{Q}_2{Q}_3=1$

证明

考虑恒等式

$q^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)}\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}1/(1-q^j)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(s^{k+j})\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+s{q}^m)[t^j\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+t{q}^n)+t^{j-1}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+t{q}^n)]$

立刻就有

$q^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)}\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}1/(1-q^j)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(1+t)(s^{k+j}{t}^j)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+s{q}^m)(1+t{q}^m)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(s^{k+j}{t}^j)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+s{q}^m)(1+t{q}^{m-1})$

考虑令$u=st$，则原式可改写为

$q^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)}\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}1/(1-q^j)=s^k\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{u}^j\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+s{q}^m)(1+u{q}^{m-1}/s)$

因此

$q^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)}\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}1/(1-q^j)=s^k\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+s{q}^m)(1+s{q}^{m-1})$

利用对称性，令$s=1/s$，又有

$q^{\left(\begin{array}{c}1-k\\ 2\end{array}\right)}\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}1/(1-q^j)=s^{-k}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+s{q}^m)(1+q^{m-1}/s)$

再考虑对$k$的双边无穷求和，

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{s}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)}\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}1/(1-q^j)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+s{q}^m)(1+q^{m-1}/s)$

因此，进一步地

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{s}^k{q}^{\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)}=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^m)(1+s{q}^m)(1+q^{m-1}/s)$

令$q=q^2$且$sq=z$，恒等式得证。