陳-韋伊同態

數學上，陳－韋伊同態（Template:Lang-en）是陳－韋伊理論的基本構造，將一個光滑流形M的曲率聯繫到M的德拉姆上同調群，也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身和安德烈·韋伊於1940年代建立，是發展示性類理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理。

記$𝕂$為實數域或複數域。設G為實或複李群，有李代數$𝔤$，又記

$𝕂({𝔤}^{*})$

為$𝔤$上的$𝕂$-值多項式的代數。設$𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$為在$𝕂({𝔤}^{*})$中G的伴隨作用的不動點的子代數，故對所有$f\in 𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$有

$f(t_1,\dots ,t_k)=f(A{d}_g{t}_1,\dots ,A{d}_g{t}_k)$。

陳－韋伊同態是從$𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$到上同調代數$H^{*}(M,𝕂)$的一個$𝕂$-代數同態。這個同態存在，且對M上任何主G-叢P有唯一定義。若G緊緻，則於此同態下，G-叢B^G的分類空間的上同調環同構於不變多項式的代數$𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$：

$H^{*}(B^G,𝕂)\cong 𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}.$

對於如SL(n,R)的非緊緻群，可能有上同調類無不變多項式的表示。

同態的定義

取P 中任何聯絡形式w，設$\mathrm{\Omega }$為相伴的曲率2-形式。若$f\in 𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$是k次齊次多項式，設 $f(\mathrm{\Omega })$是P上的2k-形式，以下式給出

$f(\mathrm{\Omega })(X_1,\dots ,X_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_{2k}}{ϵ}_{\sigma }f(\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))$

其中${ϵ}_{\sigma }$是2k個數的對稱群${𝔖}_{2k}$中置換$\sigma$的符號。（見普法夫值。）

可證

$f(\mathrm{\Omega })$

是閉形式，故

$df(\mathrm{\Omega })=0,$

且$f(\mathrm{\Omega })$的德拉姆上同調類獨立於在P上的聯絡的選取，故只依賴於主叢。

因此設

$\varphi (f)$

是由上從f得出的上同調類，故有代數同態

$\varphi :𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}\to H^{*}(M,𝕂).$

參考

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• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

  The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.

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