部分分式积分法

Template:微积分学 部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。

例子

以下是一个简单的例子。计算 $\int \frac{10 x^{2} + 12 x + 20}{x^{3} - 8} d x$ 时，需要先将它拆分为部分分式：

\frac{10 x^{2} + 12 x + 20}{x^{3} - 8} = \frac{10 x^{2} + 12 x + 20}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x + 4}

通分得到：

10 x^{2} + 12 x + 20 = A (x^{2} + 2 x + 4) + (B x + C) (x - 2)

整理，原式变为：

10 x^{2} + 12 x + 20 = (A + B) x^{2} + (2 A - 2 B + C) x + (4 A - 2 C)

因此，

A + B = 10

2 A - 2 B + C = 12

4 A - 2 C = 20

解方程组，得到：

A = 7

B = 3

C = 4

所以：

\frac{10 x^{2} + 12 x + 20}{x^{3} - 8} = \frac{7}{x - 2} + \frac{3 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}

即：

\int \frac{10 x^{2} + 12 x + 20}{x^{3} - 8} d x = \int (\frac{7}{x - 2} + \frac{3 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}) d x = \int \frac{7}{x - 2} d x + \int \frac{3 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} d x

利用换元积分法，将 $x - 2$ 与 $x^{2} + 2 x + 4$ 分别换元，便得到结果：

\int \frac{10 x^{2} + 12 x + 20}{x^{3} - 8} d x

= 7 \ln | x - 2 | + \int \frac{\frac{3}{2} (2 x + 2) + 1}{x^{2} + 2 x + 4} d x

= 7 \ln | x - 2 | + \frac{3}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 4} d x + \int \frac{1}{(x + 1)^{2} + 3} d x

= 7 \ln | x - 2 | + \frac{3}{2} \ln | x^{2} + 2 x + 4 | + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x + 1}{\sqrt{3}}) + C