阿達馬伽瑪函數

阿達馬伽瑪函數

Template:函數圖形 在數學中，阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數（Hadamard's gamma function）是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式，以雅克·阿达马命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為：

$H(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-x)}\frac{d}{dx}\{\ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\frac{x}{2})}{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{x}{2})}\right)\}$

其中，Template:Math是一般的伽瑪函數。若Template:Math為正整數，則其函數與伽瑪函數和減一的階乘相等：

$H(n)=\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

性質

阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數不同，阿達馬伽瑪函數沒有奇點，是一個完全連續的函數，並且滿足下面等式：

$H(x+1)=xH(x)+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

其中$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-x)}\to 0$在$x$趨近正整數時趨近為0。

阿達馬伽瑪函數	一般伽瑪函數
的複變函數圖形

$\mathrm{\Gamma }(x)-H(x)$	$\ln (\mathrm{\Gamma }(x)-H(x))$	$|\mathrm{\Gamma }(x)-H(x)|$	$\frac{H(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$
阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數的關係 由左至右分別為兩函數的差、兩函數之差的自然對數、兩函數之差的絕對值以及兩函數之比。 絕對值越小顏色越深，紅色是正實數、水藍色是負實數 可以看到在正整數的上兩函數相等。

其他表示法

阿達馬伽瑪函數可以用双伽玛函数表示：

$H(x)=\frac{\psi (1-\frac{x}{2})-\psi (\frac{1}{2}-\frac{x}{2})}{2\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

$H(x)=\mathrm{\Gamma }(x)[1+\frac{\sin (\pi x)}{2\pi }\{\psi \left(\frac{x}{2}\right)-\psi \left(\frac{x+1}{2}\right)\}],$

其中，Template:Math表示双伽玛函数。

參考文獻

1. Template:Citation
2. Template:Cite book
3. Template:Cite web