阶梯形矩阵

线性代数中，一個矩阵如果符合下列條件的話，我們稱之為-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵或-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩阵（Template:Lang-en）：

• 若某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-有个非零元素，則必在任何全零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-之上。
• 某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-最左边的（即第一個）非零元素稱為首项系数（Template:Lang）。某列的首项系数必定比上一列的首项系数更靠右（某些版本會要求非零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的首项系数必須是1）。

因為首项系数要不是最靠右的，要不就是左邊都是零，所以根據上面二點，在首项系数所在的-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-中，在首项系数下面的元素都會是零。

这个3×4矩阵是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵：

$\left[\begin{array}{cccc}1& a_1& a_2& b_1\\ 0& 2& a_3& b_2\\ 0& 0& 1& b_3\end{array}\right]$

有時候，增廣矩陣右邊的直線也會省略。

$\left[\begin{array}{cccc}1& a_1& a_2& b_1\\ 0& 2& a_3& b_2\\ 0& 0& 1& b_3\end{array}\right]$

简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵

简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵或簡約-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩陣（Template:Lang），也称作-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-规范形矩阵（Template:Lang），如果满足额外的条件：

• 每个首项系数是1，且是其所在-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-的唯一的非零元素。例如：

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& a_1& 0& b_1\\ 0& 1& a_2& 0& b_2\\ 0& 0& 0& 1& b_3\end{array}\right]$

注意，这并不意味着简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵：

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1/2& 0& b_1\\ 0& 1& -1/3& 0& b_2\\ 0& 0& 0& 1& b_3\end{array}\right]$

因为第3-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-并不包含任何-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-的首项系数。

矩阵变换到-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵

通过有限步的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-初等变换，任何矩阵可以变换为-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。由于-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-初等变换保持了矩阵的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间，因此-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间与变换前的原矩阵的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间相同。

-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如，-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。但是，可以证明一个矩阵的简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵是唯一的。

线性方程组

如果一个线性方程组的增广矩阵是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。类似的，如果一个线性方程组的增广矩阵是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。

一些示例

定义： $\left[\begin{array}{cccc}1& a_1& a_2& a_3\\ 0& 1& a_4& a_5\\ 0& 0& 1& a_6\end{array}\right]$

例子： $\left[\begin{array}{ccc}1& 8& 9\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& -6& 33\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

错误示例： $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -8\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 4& 1& 26\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& -29& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 6& 7\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

注：

• 矩阵1：第二-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-的第一非零项1的下方的-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-项不全为零（有非零项4），见定义第二条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。

• 矩阵2：全为零的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-应该在非全为零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的下方，见定义第三条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。

• 矩阵3：k+1-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-比k-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的第一个非零项之前的0少，见定义第三条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。

简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的例子： $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccc}1& 9& 0& 5& 0& 17\\ 0& 0& 1& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& 0& 1& 32\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

参见

• 高斯消元法
• 高斯-若爾當消元法
• 初等变换

参考来源

• 矩阵的初等行变换、阶梯形矩阵与矩阵的秩
• Interactive Row Echelon Form with rational output Template:Wayback