開爾文環流定理

Template:NoteTA 在流體動力學上，開爾文環流定理（Template:Lang-en，由第一代開爾文男爵威廉·湯姆森於1869年發表，因此以他命名）描述在徹體力保守的正壓理想流體中閉合曲線（包圍相同的流體元）的環量在流體運動時並不會隨時間而改變。其數學描述為

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{D}t}=0$

其中$\mathrm{\Gamma }$為材料圍線$C(t)$的環流。用更簡單的話來說，這條定理所指的是，若觀察閉合圍線並注意它一段時間（注意所有流體元的運動）的話，則始終兩者間的環流相等。

本定理在有黏性應力、非保守徹體力（例如科里奥利力）或非正壓的壓力－密度關係的情況下並不成立。

數學證明

材料圍線$C(t)$的環流 $\mathrm{\Gamma }$的定義為：

$\mathrm{\Gamma }(t)={\oint }_C𝒖\cdot \mathrm{d}𝒔$

其中u為速度向量，ds為沿着閉合圍線的單元。

徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為

$\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$

其中D/Dt為實質導數，ρ為流體密度，p為密度，以及Φ為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。

正壓性條件意味着密度是壓力的函數，且為其唯一自變量，即$\rho =\rho (p)$。

取環流的實質導數，得：

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{D}t}={\oint }_C\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}\cdot \mathrm{d}𝒔+{\oint }_C𝒖\cdot \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}$

把主宰方程式代入第一項並使用斯托克斯定理，得：

${\oint }_C\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}\cdot \mathrm{d}𝒔=\underset{A}{\int }\mathrm{\nabla }\times (-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi })\cdot 𝒏\mathrm{d}S=\underset{A}{\int }\frac{1}{{\rho }^2}(\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p)\cdot 𝒏\mathrm{d}S=0.$

最後的等式是源自$\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p=0$，它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數$f$的梯度的旋度皆為零這一事實$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=0$。

已知材料線元的時間進化由下式給出（可由實質導數的定義求得）

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}=(\mathrm{d}𝒔\cdot \mathrm{\nabla })𝒖$

因此

${\oint }_C𝒖\cdot \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}={\oint }_C𝒖\cdot (\mathrm{d}𝒔\cdot \mathrm{\nabla })𝒖=\frac{1}{2}{\oint }_C\mathrm{\nabla }(|𝒖{|}^2)\cdot \mathrm{d}𝒔=0$

使用交換律後再使用$𝒖\cdot \mathrm{\nabla }𝒖=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }(|𝒖{|}^2)$。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。

由於第一項及第二項皆為零，得

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{D}t}=0$

参见

• 亥姆霍兹定理 (流体力学)