量子马尔可夫半群

在量子力学中，量子马尔可夫半群刻画了具备马尔可夫性质的Template:Le的动力学演化。量子马尔可夫半群原型的公理定义最早由 Template:Le 于1972年提出，随后由V. Gorini、 Andrzej Kossakowski 、Template:Le 和 Template:Le 于1976年进一步发展。

动机

理想的量子系统是完全孤立的，因而并不现实。在实践中，系统会受到与环境耦合的影响，而环境通常具有大量的自由度（例如原子与周围辐射场相互作用）。对环境自由度的完整微观描述通常过于复杂。因此，人们寻求对开放系统的演化的更简单描述。原则上，人们应该研究整个系统（即系统和环境）的幺正演化，通过对环境自由度上的适当可觀察量取平均来获得感兴趣的约化系统的信息。为了模拟与环境相互作用而产生的耗散效应，薛定谔方程被一个合适的主方程所取代，例如林德布拉德方程或随机薛定谔方程，其中环境的无限自由度被“合成”为一些量子噪声。从数学上讲，马尔可夫开放量子系统的时间演化不再由幺正映射的单参数群来描述，而是需要引入量子马尔可夫半群。

定义

量子动力学半群

一般而言，量子动力学半群可以定义在冯诺依曼代数上，这使得所考察的系统的维数可以是无限的。设 $𝒜$ 是一个作用于希尔伯特空间 $ℋ$ 上的冯诺依曼代数， $𝒜$ 上的量子动力学半群是 $𝒜$ 上有界算子的这样一种集合 $𝒯$ ，其可用一非负实数 $t \geq 0$ 参数化从而其成员记作 $𝒯_{t}$ ，且具有以下性质：^[1]

$\forall a \in 𝒜$ , $𝒯_{0} (a) = a$
$\forall s, t \geq 0$ , $\forall a \in 𝒜$ , $𝒯_{t + s} (a) = 𝒯_{t} (𝒯_{s} (a))$
$\forall t \geq 0$ ， $𝒯_{t}$ 都是一个Template:Le
$\forall t \geq 0$ ， $𝒯_{t}$ 都是 $𝒜$ 上的Template:Le意义上的连续算子
$\forall a \in 𝒜$ ，映射 $t \mapsto 𝒯_{t} (a)$ 在 $𝒜$ 的Template:Le意义上连续。

值得一提的是，在完全正性质的条件下，算子 $𝒯_{t}$ 的超弱连续性等价于其正规性（normal）。^[1]注意这里所说的正规性不同于正规算子，而是定义如下：设 $𝒜_{+}$ 表示 $𝒜$ 中正元素所构成的凸锥， $T : 𝒜 \to 𝒜$ 是一个正算子，若对于每个 $𝒜_{+}$ 中递增且有最小上界 $x$ 的网 ${(x_{α})}_{α}$ ，性质

\lim_{α} ⟨ u, (T x_{α}) u ⟩ = \sup_{α} ⟨ u, (T x_{α}) u ⟩ = ⟨ u, (T x) u ⟩

对 $ℋ$ 的一个范数稠密的线性子流形中的任意 $u$ 都成立，则称算子 $T$ 是正规的。