Β函數 (物理學)

在理论物理量子场论中β函數，β(g)描述的是在重正化群下，理論中耦合常數g随能量标度μ的變化，定义：

β (g) = \frac{\partial g}{\partial \log (μ)},

例子

量子电动力学

量子电动力学 (QED)中β函數一圈图表示：

$β (e) = \frac{e^{3}}{12 π^{2}},$

或

$β (α) = \frac{2 α^{2}}{3 π},$

这里精细结构常数α = e²/4π .

量子色动力学

量子色动力学 (QCD)中β函數还与夸克的味数 $n_{f}$ 有关其一圈图表示：

$β (g) = - (11 - \frac{2 n_{f}}{3}) \frac{g^{3}}{16 π^{2}},$

或

$β (α_{s}) = - (11 - \frac{2 n_{f}}{3}) \frac{α_{s}^{2}}{2 π},$

这里 α_s = $\frac{g^{2}}{4 π}$ .

如果 n_f ≤ 16则β函數为负数，理论存在漸近自由，这一现象在1973年，被弗朗克·韋爾切克和戴維·格婁斯^[1]，與休·波利策^[2]兩組人發現。他們三人在2004年因這項發現而獲得了諾貝爾物理學獎^[3]。

SU(N)非阿贝尔规范理論

$β (α) = μ^{2} \frac{\partial}{\partial μ^{2}} \frac{α (μ^{2})}{4 π} = - [β_{0} {(\frac{α}{4 π})}^{2} + β_{1} {(\frac{α}{4 π})}^{3} + β_{2} {(\frac{α}{4 π})}^{4} + \dots]$

$β_{0} = \frac{11}{3} C_{A} - \frac{4}{3} T_{F} n_{f}$

$β_{1} = \frac{34}{3} C_{A}^{2} - \frac{20}{3} C_{A} T_{F} n_{f} - 4 C_{F} T_{F} n_{f}$

$β_{2} = \frac{2857}{54} C_{A}^{3} - \frac{1415}{27} C_{A}^{2} T_{F} n_{f} + \frac{158}{27} C_{A} T_{F}^{2} n_{f}^{2} + \frac{44}{9} C_{F} T_{F}^{2} n_{f}^{2} - \frac{205}{9} C_{F} C_{A} T_{F} n_{f} + 2 C_{F}^{2} T_{F} n_{f}$

其中： $T_{F} = \frac{1}{2}, C_{F} = \frac{N^{2} - 1}{2 N}$ 和 $C_{A} = N$

參考資料

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[1] Template:Cite journal

[2] Template:Cite journal

[3] Template:Cite web

[1]

[2]

[3]

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