遞進階乘與遞降階乘

在数学中，階乘冪（Template:Lang-en）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（Template:Lang-en）和遞降階乘（Template:Lang-en），或稱上升階乘和下降階乘，

定义

遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。

由Template:En-link引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為$x^{(n)}$ 与 $(x{)}_n$ 。

一种较为少见的写法将遞進階乘記作 $(x{)}_n^{+}$ 。

葛立恒、高德纳与Template:Link-en在《具体数学》一书中，則引进符號 $x^{\bar{n}}$ 与 $x^{\underset{\_}{n}}$ 。

遞進階乘

在组合学和特殊函数理论中，遞進階乘用于表达上升自然數数列的积，定义为

$x^{\bar{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$

遞降階乘

在组合学中也常用遞降階乘：

$x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}$

另外，值得一提的是遞降階乘实际上是排列 $P_n^x$，详见排列。

两者的关系

遞進階乘与遞降階乘，两者之间的关系为：

$x^{\bar{n}}=(x+n-1{)}^{\underset{\_}{n}}$

它們与阶乘的关系为：

$1^{\bar{n}}=n^{\underset{\_}{n}}=n!$

擴展

零次幂

零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為空積 1 :

$x^{\bar{0}}=x^{\underset{\_}{0}}=1$ 。

实数

運用伽玛函数，階乘冪的定義域可以扩展到实数。

遞進階乘的定义變為

$x^{\bar{n}}=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}x,x+n\ne 0,-1,-2,\cdots$

遞降階乘则为

$x^{\underset{\_}{n}}=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-n+1)}x,x+n\ne -1,-2,-3,\cdots$

特性

遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达：

$\frac{x^{\bar{n}}}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n})$

$\frac{x^{\underset{\_}{n}}}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})$

于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。

显然，遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积，它定能被 n 整除，即

$n|x^{\bar{n}}$ ；

$n|x^{\underset{\_}{n}}$ 。

當 n=4 ，遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1，即

$x^{\bar{4}}=k^2-1$；

$x^{\underset{\_}{4}}=k^2-1$ 。

遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则:

$(a+b{)}^{\bar{n}}=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{\overline{n-r}}{b}^{\bar{r}}$

$(a+b{)}^{\underset{\_}{n}}=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{\underset{\_}{n-r}}{b}^{\underset{\_}{r}}$

其中系数为二项式系数。

因为遞降階乘是多项式环的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合：

$x^{\underset{\_}{m}}{x}^{\underset{\_}{n}}=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!x^{\underset{\_}{m+n-k}}$

等式右边的系数则为二项式系数。

一般化

階乘冪能一般化至任意函數和公差：

$[f(x){]}^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)$

$[f(x){]}^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)$

使用這個記號，原來的遞進階乘与遞降階乘便記作 $[x{]}^{k/1}$ 和 $[x{]}^{k/-1}$ 。

与亚微积分的關係

Template:Refimprove 差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，遞降階乘 $x^{\underset{\_}{k}}$ 替代微分中的 $x^k$ 例如：

$\mathrm{\Delta }{x}^{\underset{\_}{k}}=k{x}^{\underset{\_}{k-1}}$

与

$\frac{\partial }{\partial x}{x}^k=k{x}^{k-1}$

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。

程序实现

Mathematica

$\text{Pochhammer}[x,n]=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$

参考文献

• Template:Citation.
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外部链接

• Template:MathWorld
• Elementary Proofs Template:Wayback