通用微分方程

Template:About 通用微分方程是一種非平凡的Template:Le，其解可以在實數線上的任何區域逼近任何連續函數，可以到任意的精準度。此概念是由美國數學家Template:Le在1981年提出。

若要精確表示，微分方程$P(y^{\prime },y^{″},y^{‴},...,y^{(n)})=0$是通用微分方程，若針對任意連續實值函數$f$以及任意正值連續函數$\epsilon$，存在$P(y^{\prime },y^{″},y^{‴},...,y^{(n)})=0$的光滑解$y$，使得針對所有$x\in ℝ$，$|y(x)-f(x)|<\epsilon (x)$都成立。

通用微分方程的存在一開始視為是類似類比電腦的通用圖靈機，因為香農識別到Template:Link-en的結果和代數微分方程的解相同。不過通用微分方程和通用圖靈機不同，通用微分方程無法分析系統的演進，只能舉出系統演進需要滿足的條件。

範例

• Rubel在1981年發現第一個通用微分方程，是四階的隱式微分方程： $3y^{\prime 4}{y}^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime \prime \prime 2}-4y^{\prime 4}{y}^{\prime \prime \prime 2}{y}^{\prime \prime \prime \prime }+6y^{\prime 3}{y}^{\prime \prime 2}{y}^{\prime \prime \prime }{y}^{\prime \prime \prime \prime }+24y^{\prime 2}{y}^{\prime \prime 4}{y}^{\prime \prime \prime \prime }-12y^{\prime 3}{y}^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime \prime 3}-29y^{\prime 2}{y}^{\prime \prime 3}{y}^{\prime \prime \prime 2}+12y^{\prime \prime 7}=0$
• Duffin發現了一組通用微分方程：

$n^2{y}^{\prime \prime \prime \prime }{y}^{\prime 2}+3n(1-n)y^{\prime \prime \prime }{y}^{\prime \prime }{y}^{\prime }+(2n^2-3n+1)y^{\prime \prime 3}=0$和$n{y}^{\prime \prime \prime \prime }{y}^{\prime 2}+(2-3n)y^{\prime \prime \prime }{y}^{\prime \prime }{y}^{\prime }+2(n-1)y^{\prime \prime 3}=0$，其解是class $C^n$，n > 3。

• Briggs提出了另外一組通用微分方程，是建構在雅可比橢圓函數上的：

$y^{\prime \prime \prime \prime }{y}^{\prime 2}-3y^{\prime \prime \prime \prime }{y}^{\prime \prime }{y}^{\prime }+2(1-n^{-2})y^{\prime \prime 3}=0$，其中n > 3。

外部連結

• Wolfram Mathworld page on UDEs Template:Wayback