连续映射定理

Template:NoteTA 概率论中，连续映射定理（Template:Lang-en）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 $x_n\to x$ 那么 $g(x_n)\to g(x)$。连续映射定理指出，如果把确定的数列$\{x_n\}$替换为一列随机变量$\{x_n\}$，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。 这个定理第一次由Template:Harvtxt证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。

敍述

設$X_n(n=0,1,\dots )$和$X$為度量空间$S$中的随机元素，又設$g:S\to S^{\prime }$為自$S$至另一個度量空間$S^{\prime }$的函數，其不连续点集$D_g$滿足$\mathbb{P}(X\in D_g)=0$，則：

$\begin{array}{cc}{X}_n\stackrel{\text{d}}{\to }X& ⟹g(X_n)\stackrel{\text{d}}{\to }g(X);\\ X_n\stackrel{\text{p}}{\to }X& ⟹g(X_n)\stackrel{\text{p}}{\to }g(X);\\ X_n\stackrel{\text{a.s.}}{\to }X& ⟹g(X_n)\stackrel{\text{a.s.}}{\to }g(X).\end{array}$

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分佈收斂、依概率收斂、殆必收斂。