达布定理

Template:Otheruses 在实分析中，达布定理（Template:Lang-en）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若$f$为可导函数，则对任意区间$I$，$f^{\prime }(I)$ 仍为区间。

当函数 $f$ 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 $f^{\prime }$ 不连续时，达布定理说明 $f^{\prime }$ 仍具有介值性质。

内容

设$f:[a,b]\to ℝ$为闭区间$[a,b]$上的可导实函数，那么对介于$f^{\prime }(a)$和$f^{\prime }(b)$之间的任意$y$，存在$x\in [a,b]$使得$f^{\prime }(x)=y$。

证明

不失一般性，可假设$f{\text{'}}_{+}(a)>y>f{\text{'}}_{-}(b)$。又设$g(x):=f(x)-tx$，则 $g{\text{'}}_{+}(a)>0>g{\text{'}}_{-}(b)$。只需找到$g^{\prime }$在$[a,b]$上的一个零点即可。

由于$g$是$[a,b]$上的连续函数，由極值定理，$g$在$[a,b]$上达到极大值。由于$g{\text{'}}_{+}(a)>0$，极大值不在$a$处取到。同理，由于$g{\text{'}}_{-}(b)<0$，极大值也不在b处取到。设$x$为取到极大值的点，这时，$g{}^{\prime }(x)=0$。于是定理得证。

历史

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻畫出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是拓扑学家正弦曲线函数：

$x\mapsto \{\begin{array}{cc}\sin (1/x)& x\ne 0\text{时 },\\ 0& x=0\text{时 }.\end{array}$

其导数在$x=0$处并不连续。

参考资料

• 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
• 潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

外部链接

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