超積

數學上，超積（Template:Lang-en）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的Template:Link-en。超冪（Template:Lang-en）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。Template:Link-en的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Template:Lang）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

定義

超積的一般定義中，先選定指標集$I$、對應每個下標$i\in I$的结构${ℳ}_i$（具相同的Template:Link-en），以及$I$上的超濾子$𝒰$。通常僅考慮$I$為無窮集，且$𝒰$不為主超濾子的情況，即$𝒰$的元素有齊$I$的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡儿积

$\prod _{i\in I}{ℳ}_i$

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算$+$，$(𝒂+𝒃{)}_i=a_i+b_i$。然後，在笛氏積上，定義等价关系$\sim$，使$𝒂\sim 𝒃$當且僅當

$\{i\in I:a_i=b_i\}\in 𝒰$

（應當理解為「$𝒂$與$𝒃$在大多數位置相等」）。

最後，所得的超積，是模$\sim$的商集。所以，該超積有時記為

$\prod _{i\in I}{ℳ}_i/𝒰.$

另一種看法是，在指標集$I$上，定義一個有限可加的测度$m$（弱於一般可數可加的條件），僅取$0,1$二值，若$A\in 𝒰$則稱$m(A)=1$，否則稱$m(A)=0$。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他Template:Link-en同理可作引申：

$R([{𝒂}^1],\dots ,[{𝒂}^n])⟺\{i\in I:R^{{ℳ}_i}(a_i^1,\dots ,a_i^n)\}\in 𝒰,$

其中$[𝒂]$表示$𝒂$模$\sim$所屬的等價類。

特別地，若每個${ℳ}_i$皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂超冪，意思是所有因子${ℳ}_i$皆相等的超積：

${ℳ}^I/𝒰=\prod _{i\in I}ℳ/𝒰.$

也可以推廣到$𝒰$不為超濾子，而僅為$I$上普通一個滤子的情況。此時所得的模型$\prod _{i\in I}{ℳ}_i/𝒰$稱為約化積（Template:Lang-en）。

例子

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，${\omega }_n=n$的序列$({\omega }_n)$所在的等價類，記為超實數$\omega$，比任意實數都要大，因為對於任意實數$r$，$({\omega }_n)$除有限項外皆比$r$大。於是，$\omega$可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義Template:Link-en、Template:Le等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數$\psi$為序列${\psi }_n=2n$所在的等價類。由於對每個$n$都有${\psi }_n>n={\omega }_n$，在超積中，有$\psi >\omega$，所以$\psi$是較原先構造出的$\omega$更大的無窮大數。又考慮與${\omega }_n=n$類似的序列$({\chi }_n)$，令$n\ne 7$時，${\chi }_n=n$，但${\chi }_7=8$。則雖然兩個序列$({\chi }_n)\ne ({\omega }_n)$，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有$\omega =\chi$。

大基数論中，有個標準構造是小心選取超濾子$𝒰$，然後取整個集合論全類關於$𝒰$的超積。此時，$𝒰$的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若$𝒰$可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在Template:Section link有提及。

沃希定理

沃希定理（Template:Lang-en），又稱超積Template:Le，由Template:Link-en所證（Template:IPA-pl）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積$\prod {ℳ}_i/𝒰$中為真，當且僅當使該公式在${ℳ}_i$中成立的指標$i$的集合，是$𝒰$的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」${ℳ}_i$皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

設有表徵$\sigma$，指標集$I$，其上的超濾子$𝒰$，且對每個$i\in I$，有$\sigma$結構${ℳ}_i$。又設$ℳ$為${ℳ}_i$關於$𝒰$之超積，即$ℳ=\prod _{i\in I}{ℳ}_i/𝒰$。則對任意$n$個多元組$a^1,\dots ,a^n\in \prod {ℳ}_i$，其中$a^k=(a_i^k{)}_{i\in I}$，以及對任意$\sigma$公式$\phi$，

$ℳ\models \phi (a^1,\dots ,a^n)⟺\{i\in I:{ℳ}_i\models \phi (a_i^1,\dots ,a_i^n)\}\in 𝒰.$

定理對公式$\phi$的複雜度歸納得證。$𝒰$為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到选择公理。應用定理可得超實域的Template:Link-en。

實例

設$R$為結構$ℳ$上的一元關係，並構造$ℳ$的超冪。則集合$S=\{x\in ℳ:ℳ\models Rx\}$在超冪中有對應的子集${}^{*}S$，而在$ℳ$中，對$S$量化且為真的一階公式，將$S$換成${}^{*}S$後，仍在超冪中成立。例如，設$ℳ=ℝ$為實數集。設$Rx$表示「$x$為有理數」。則在$ℳ$中，對每對有理數$x<y$，總有無理數$z$介於兩者之間。即：

$ℳ\models (\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\forall }y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)⟹(\mathrm{\exists }z)(\mathrm{\neg }Rz\wedge x<z<y)).$

既然有理數集$S$此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集${}^{*}S$仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數$x$同時滿足$x>1,x>1+1,x>1+1+1,\dots$此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數$\omega$，就比$1,1+1,1+1+1,\dots$都要大。

超冪的正極限（超極限）

模型論和集合論中，常考慮一列超冪的Template:Link-en（範疇論的餘極限）。模型论中，此構造稱為超極限（Template:Lang-en）或極限超冪（Template:Lang-en）。

從某結構${𝒜}_0$和超濾子${𝒰}_0$開始，構造出超冪${𝒜}_1$，並重複，得到${𝒜}_2$等。對每個$n$，有典範對角嵌入${𝒜}_n\hookrightarrow {𝒜}_{n+1}$。在極限階段，如${𝒜}_{\omega }$，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

參見

• Template:鏈解
• Template:鏈解
• Template:Link-en

參考資料

• Template:Cite book
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