费雪变换

费雪变换

费雪变换（Template:Lang-en）是统计学中用于相关系数假设检验的一种方法。对样本相关系数进行费雪变换后，可以用来检验关于总体相关系数ρ的假设。

定义

已知Template:Mvar组双变量样本Template:Math，样本相关系数Template:Mvar为

$r=\frac{\sum _{i=1}^N(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^N(X_i-\overline{X}{)}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^N(Y_i-\overline{Y}{)}^2}}$

于是，Template:Mvar的费雪变换可定义为

$z:=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\mathrm{arctanh}(r).$

当Template:Math为二元正态分布且Template:Math对相互独立时，Template:Mvar近似为正态分布。其均值为

$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\rho }{1-\rho }\right),$

标准差为

$\frac{1}{\sqrt{N-3}},$

其中Template:Mvar是样本大小，Template:Mvar是变量Template:Mvar与Template:Mvar的总体相关系数。

费雪变换及其逆变换

$r=\frac{\exp (2z)-1}{\exp (2z)+1}=\tanh (z),$

可以用于构造Template:Mvar的置信区间。