贝克隆德变换

贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系。

两个非线性偏微分方程

$F_1(u,x,t,u_x,u_t,u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{tt})=0,$

$F_2(w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta },w_{\xi },w_{\xi \xi },w_{\xi \eta },w_{\eta \eta })=0$

之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系

${\varphi }_1(u,x,t,u_x,u_t,w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0,$

${\varphi }_2(u,x,t,u_x,u_t,w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0.$

贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v

$u_{xt}=\sin u.$

$v_{xt}=\sin v.$

之间有如下关系：

$\begin{array}{cc}{v}_x& =u_x-2\beta \sin \left(\frac{u+v}{2}\right)\\ v_t& =-u_t+\frac{2}{\beta }\sin \left(\frac{v-u}{2}\right)\end{array}$

这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。

将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商：

$bt1:=(1/2)\ast u_{xt}-(1/2)\ast v_{xt}=\beta \ast cos((1/2)\ast u+(1/2)\ast v)\ast ((1/2)\ast u_t+(1/2)\ast v_t)$

$bt2:=(1/2)\ast u_{xt}+(1/2)\ast v_{xt}=cos((1/2)\ast u-(1/2)\ast v)\ast ((1/2)\ast u_x+(1/2)\ast v_x)/\beta$

消除v即得$u_{xt}=\sin u.$；

消除u项即得

$v_{xt}=\sin v.$

贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、高维广义Burger I型方程、高维广义Burger II型方程的精确解：

解正弦-戈尔登方程

Sine-gordon kink2d

Sine-gordon 3D animation1

Sine-gordon 3D animation2

利用正弦-戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程：

由贝克隆德自变换$v_x=u_x-2\beta \sin (\frac{u+v}{2})$令v=0，得

$u_x=2\beta \sin \left(\frac{u}{2}\right)$，显然

$2\ast \beta =u[x]/sin((1/2)\ast u)$，两边对x积分，得：

$2\ast \beta \ast x=2\ast ln(csc((1/2)\ast u)-cot((1/2)\ast u))$

对贝克隆德自变换第二式作同样运算得：

$2\ast t/\beta =2\ast ln(csc((1/2)\ast u)-cot((1/2)\ast u))$ 经过三角函数运算，二式简化为

$2\beta \ast x=2\ast ln(tan(u/4))$

$2t/\beta =2\ast ln(tan(u/4))$

二式相加得：

$2\ast beta\ast x+2\ast t/beta=4\ast ln(tan((1/4)\ast u))$，

分离u得正弦-戈尔登方程的一个解析解：

$u(x,t)=4\ast arctan(e^{\frac{{\beta }^2\ast x+t}{2\beta }})$

又从$2\ast t/\beta =2\ast ln(csc((1/2)\ast u)-cot((1/2)\ast u))$ 直接接求u得另外两个解析解：

$u(x,t)=2\ast arctan(2\ast exp((1/2)\ast ({\beta }^2\ast x+t)/\beta )/(1+(exp((1/2)\ast ({\beta }^2\ast x+t)/\beta ){)}^2))$

$u(x,t)=-2\ast arctan(((exp((1/2)\ast ({\beta }^2\ast x+t)/\beta ){)}^2-1)/(1+(exp((1/2)\ast ({\beta }^2\ast x+t)/\beta ){)}^2))$

另见

可积系统

KdV方程