費馬點

在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形Template:Math的话，从这个三角形的费马点Template:Math到三角形的三个顶点Template:Math、Template:Math、Template:Math的距离之和

$PA+PB+PC$

比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在一封写给意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

源起：费马的问题

1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃萬傑利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因。费马的问题是这样的：

平面上有三个不在同一条直线上的点Template:Math，对平面上的另一个点Template:Math，考虑点Template:Math到原来的三个点的距离之和：Template:Math。是否有这样一个点Template:Math，使得它到点Template:Math的距离之和Template:Math比任何其它的Template:Math都要小？

这个问题首先被托里拆利解决，但他生前并没有发表。托里拆利的学生温琴佐·维维亚尼在1659年将他的遗作整理發表，其中包括了费马点问题的证明Template:Rp。他的解法中用到了椭圆的焦点的性质。

费马-托里拆利点

托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形Template:Math的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。

1647年，博納文圖拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（Template:Lang）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。

作法及证明

下面是三角形的费马点的作法：

• 当有一个内角不小于120°时，费马点为此角对应顶点。
• 当三角形的内角都小于120°时
  • 以三角形的每一边为底边，向外做三個正三角形Template:Math，Template:Math，Template:Math。
  • 連接Template:Math、Template:Math、Template:Math，则三条线段的交点就是所求的点。

几何证明

三角形的内角都小于120°的情况：

首先证明Template:Math、Template:Math、Template:Math三条线交于一点。

设Template:Math为线段Template:Math和Template:Math的交点。注意到三角形Template:Math和三角形Template:Math是全等的，三角形Template:Math可以看做是三角形Template:Math以Template:Math点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角$\mathrm{\angle }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{P}\mathrm{B}$等于60度，和$\mathrm{\angle }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{A}\mathrm{B}$相等。因此，Template:Math、Template:Math、Template:Math、Template:Math四点共圆。同样地，可以证明Template:Math、Template:Math、Template:Math、Template:Math四点共圆。于是：

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}=120^{\circ }$

从而$\mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{B}=120^{\circ }$。于是可以得出：Template:Math、Template:Math、Template:Math、Template:Math四点共圆，即

$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}\mathrm{B}=60^{\circ }$

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}\mathrm{B}=120^{\circ }+60^{\circ }$

Template:Math、Template:Math、Template:Math三点共线。也就是说Template:Math、Template:Math、Template:Math三条线交于一点。Template:Rp

接下来证明交点Template:Math就是到三个顶点距离之和最小的点。

在线段Template:Math上选择一点Template:Math，使得Template:Math = Template:Math。由于$\mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{P}\mathrm{C}=60^{\circ }$，所以等腰三角形Template:Math是正三角形。于是$\mathrm{\angle }\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$。同时Template:Math = Template:Math、Template:Math = Template:Math，于是可以得出三角形Template:Math和三角形Template:Math是全等三角形。所以Template:Math = Template:Math。综上可得出：

Template:Math = Template:Math

对于平面上另外一个点Template:Math，以Template:Math为底边，向下作正三角形Template:Math。运用类似以上的推理可以证明三角形Template:Math和三角形Template:Math是全等三角形。因此也有：

Template:Math = Template:Math

平面上两点之间以直线长度最短。因此

Template:Math = Template:Math = Template:Math

也就是说，点Template:Math是平面上到点Template:Math、Template:Math、Template:Math距离的和最短的一点。Template:Rp

最后证明唯一性。

如果有另外一点Template:Math使得Template:Math = Template:Math，那么

Template:Math = Template:Math

因此点Template:Math和Template:Math也在线段Template:Math之上。依照Template:Math和Template:Math的定义，可以推出

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{C}=120^{\circ }$

因此Template:Math也是Template:Math、Template:Math、Template:Math三条线的交点。因此Template:Math点也就是Template:Math点。因此点Template:Math是唯一的。Template:Rp

有一内角大于120°的情况。

如右图， $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}$大于120°，Template:Math为三角形内一点。以Template:Math为底边，向上作正三角形Template:Math；以Template:Math为底边，向上作正三角形Template:Math。于是三角形Template:Math和三角形Template:Math是全等三角形。Template:Math = Template:Math。所以

Template:Math = Template:Math

延长Template:Math交Template:Math于Template:Math点，则

Template:Math = Template:Math = Template:Math = Template:Math

即Template:Math

所以Template:Math点到三顶点的距离比三角形内任意一点到三顶点的距离都小，即Template:Math点为费马点。

物理学解释

费马的问题也可以用物理的方法来解决。将平面上所给的三个给定点钻出洞来，再设有三条绳子系在一起，每条绳子各穿过一个洞口，而绳子的末端都绑有一个固定重量Template:Math的重物。假设摩擦力可以忽略，那么绳子会被拉紧，而绳结最后会停在平面一点的上方。可以证明，这个点就是三个给定点所对应的费马点。首先，由于绳长是固定的，而绳子竖直下垂的部分越长，重物的位置也就越低，势能越低。在平衡态的时候，系统的势能达到最小值，也就是绳子竖直下垂的部分的长度达到最大值，因此水平的部分的长度达到最小值。而绳子的水平部分的长度就是Template:Math，因此这时Template:Math最小，也就是达到费马点。

在系统处于平衡态时，由力学原理可知绳子两两之间张成的角度$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$、$\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{C}$和$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 之间满足合力公式：

$\frac{\sin (\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B})}{𝐦g}=\frac{\sin (\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{C})}{𝐦g}=\frac{\sin (\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C})}{𝐦g}$

也就是说这三个角相等，即都是120°。Template:Rp

推广

费马点的定义可以推广到更多点的情况。设平面上有Template:Math个点：Template:Math，又有正实数：Template:Math。费马问题可以推广为：寻找一个点Template:Math，使得它到这Template:Math个点的距离在加权后之和:

${\lambda }_1\cdot X{P}_1+{\lambda }_2\cdot X{P}_2+\cdots +{\lambda }_m\cdot X{P}_m$

是最小的。

高维的情况

费马点问题还可以推广到高维空间中。比如说在Template:Math维实向量空间${ℝ}^n$中，给定Template:Math个点：Template:Math，对空间中另一点Template:Math，设它到前述Template:Math个点的欧几里德距离之和为函数Template:Math：

$\mathrm{Dist}(x)=\sum _{i=1}^m\Vert x-p_i\Vert$

则费马点问题就变成寻找使得Template:Math最小的一点Template:Math${ℝ}^n$Template:Rp。与平面费马点问题相似，高维情况下的费马点问题也有由林德罗夫和斯图姆证明的类似结论Template:Rp：

1. 使得Template:Math最小点Template:Math并且是唯一的。
2. 如果从任何一点Template:Math到剩下的Template:Math点方向上的Template:Math个单位向量的向量和长度都大于1，那么：
   • Template:Math不是Template:Math中任何一点，
   • 从Template:Math到Template:Math方向上的Template:Math个单位向量的向量和是0。
3. 如果从某一点Template:Math到剩下的Template:Math点方向上的Template:Math个单位向量的向量和长度小于等于1，那么Template:Math就是这个点。

对于加权的费马点问题，也有类似的结论，只需将上述结论中的向量和替换为加权向量和，条件中的1也要替换为对应点的权重Template:Rp。

参见

• 西姆松定理
• 九点圆
• 斯坦纳树

参考来源

• Template:Cite book
• Template:Cite web