貴金屬比例

貴金屬比例、貴金屬分割（Template:Lang-en）定义为

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}:1$（n为自然数）

所表示的比率。

随$n$值的不同，又称为第$n$貴金屬比例、第$n$貴金屬分割。特别地，第1貴金屬比例$\frac{1+\sqrt{5}}{2}:1$称为黄金比例、第2貴金屬比例$1+\sqrt{2}:1$称为白銀比例、第3貴金屬比例$\frac{3+\sqrt{13}}{2}:1$称为青銅比例。

貴金属数

貴金属数

0	$\frac{0+\sqrt{4}}{2}$	1	1
1	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	1.6180339887...
2	$\frac{2+\sqrt{8}}{2}$	$1+\sqrt{2}$	2.4142135623...
3	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	3.3027756377...
4	$\frac{4+\sqrt{20}}{2}$	$2+\sqrt{5}$	4.2360679774...
5	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$	5.1925824035...
6	$\frac{6+\sqrt{40}}{2}$	$3+\sqrt{10}$	6.1622776601...
7	$\frac{7+\sqrt{53}}{2}$	$\frac{7+\sqrt{53}}{2}$	7.1400549446...
8	$\frac{8+\sqrt{68}}{2}$	$4+\sqrt{17}$	8.1231056256...
9	$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$	$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$	9.1097722286...
n	$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

貴金属数是

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

即二次方程式$x^2-nx-1=0$的正根。

連分数

貴金属数的連分数表示是：

$n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{\ddots }}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

数列的商的極限

黄金数（第1貴金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2貴金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第$n$貴金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列$\{M_k\}$的递推关系式

$M_0=0,M_1=1,M_{k+2}=n{M}_{k+1}+M_k$

一旦定义了此关系式，则在此之中，第$n$貴金属数为$\mu$，有

$M_k=\frac{{\mu }^k-(-\mu {)}^{-k}}{\mu +{\mu }^{-1}}=\frac{{\mu }^k-(-\mu {)}^{-k}}{\sqrt{n^2+4}}$

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在$K\to \mathrm{\infty }$收敛于$\mu$。即

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M_{k+1}}{M_k}=\mu$

成立。

参见

• 黄金比例
• 白銀比例
• 青銅比例