谱半径

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。

矩陣

令Template:Math是矩陣Template:Math中的特徵值，則其谱半径 Template:Math is 定義為：

$\rho (A)=\max \{|{\lambda }_1|,\dots ,|{\lambda }_n|\}.$

$A$的条件数可以用譜半徑表示，公式為$\rho (A)\rho (A^{-1})$。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面，$\rho (A)⩽\Vert A\Vert$對每一個矩陣範數 $\Vert \cdot \Vert$都成立，Gelfand公式指出$\rho (A)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^k{\Vert }^{1/k}$。不過，針對任意向量$𝐯\in {ℂ}^n$，譜半徑不一定會滿足$\Vert A𝐯\Vert ⩽\rho (A)\Vert 𝐯\Vert$。若要說明原因，可以令$r>1$為任意數，考慮矩陣$C_r=\left(\begin{array}{cc}0& r^{-1}\\ r& 0\end{array}\right)$。$C_r$的特徵多項式是${\lambda }^2-1$，因此其特徵值為$\pm 1$，且$\rho (C_r)=1$。不過$C_r{𝐞}_1=r{𝐞}_2$，因此$\Vert C_r{𝐞}_1\Vert =r>1=\rho (C_r)\Vert {𝐞}_1\Vert$，其中$\Vert \cdot \Vert$是${ℂ}^n$上的任何${\ell }^p$範數。至於可以當$k\to \mathrm{\infty }$時，讓$\Vert C_r^k{\Vert }^{1/k}\to 1$的原因是$C_r^2=I$，因此當$k\to \mathrm{\infty }$時，使$\Vert C_r^k{\Vert }^{1/k}⩽\Vert C_r{\Vert }^{1/k}=r^{1/k}\to 1$。

$\Vert A𝐯\Vert ⩽\rho (A)\Vert 𝐯\Vert$針對所有$𝐯\in {ℂ}^n$

成立的條件是$A$為埃尔米特矩阵及$\Vert \cdot \Vert$為欧几里得範數。

圖

有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數Template:Mvar使得每一個頂點的度都小於Template:Mvar）。此情形下，針對圖Template:Mvar可定義：

${\ell }^2(G)=\{f:V(G)\to 𝐑:\sum _{v\in V(G)}\Vert f(v{)}^2\Vert <\mathrm{\infty }\}.$

令Template:Mvar是 Template:Mvar的邻接算子：

$\{\begin{array}{c}\gamma :{\ell }^2(G)\to {\ell }^2(G)\\ (\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{array}$

Template:Mvar的谱半径定義為有界線性算子Template:Mvar的谱半径。

上界

矩陣譜半徑的上界

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令Template:Math，其譜半徑為Template:Math，以及相容（Consistent）矩陣範數 Template:Math。則針對每一個整數$k⩾1$:

$\rho (A)\le \Vert A^k{\Vert }^{\frac{1}{k}}.$

證明

令Template:Math為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

$|\lambda {|}^k\Vert 𝐯\Vert =\Vert {\lambda }^k𝐯\Vert =\Vert A^k𝐯\Vert \le \Vert A^k\Vert \cdot \Vert 𝐯\Vert$

因為Template:Math，可得

$|\lambda {|}^k\le \Vert A^k\Vert$

因此

$\rho (A)\le \Vert A^k{\Vert }^{\frac{1}{k}}.$

圖譜半徑的上界

有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

$\frac{(k-2)(k-3)}{2}\le m-n\le \frac{k(k-3)}{2}$

其中$3\le k\le n$為整數，則 ：

$\rho (G)\le \sqrt{2m-n-k+\frac{5}{2}+\sqrt{2m-2n+\frac{9}{4}}}$

乘幂數列

定理

谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：

定理：令Template:Math，其譜半徑Template:Math。則Template:Math若且唯若

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k=0.$

另一方面，若Template:Math, $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^k\Vert =\mathrm{\infty }$。上述敘述針對Template:Math上的任何矩陣範數都有效。

定理證明

假設問題中的極限值為零，可以證明Template:Math。令Template:Math為A的特征值和特征向量對。因為Template:Math可得：

$\begin{array}{cc}0& =\left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k\right)𝐯\\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(A^k𝐯\right)\\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }^k𝐯\\ & =𝐯\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }^k\end{array}$

因為假設Template:Math，會得到

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }^k=0$

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設Template:Mvar的譜半徑小於Template:Math。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的Template:Math，存在Template:Math以及非奇異的Template:Mvar和Template:Mvar分塊對角矩陣使得：

$A=VJ{V}^{-1}$

而

$J=\left[\begin{array}{ccccc}{J}_{m_1}({\lambda }_1)& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& J_{m_2}({\lambda }_2)& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & \ddots & \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& J_{m_{s-1}}({\lambda }_{s-1})& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& J_{m_s}({\lambda }_s)\end{array}\right]$

其中

$J_{m_i}({\lambda }_i)=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_i& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_i& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }_i\end{array}\right]\in {𝐂}^{m_i\times m_i},1\le i\le s.$

因此可得

$A^k=V{J}^k{V}^{-1}$

因為Template:Mvar是分塊對角矩陣

$J^k=\left[\begin{array}{ccccc}{J}_{m_1}^k({\lambda }_1)& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& J_{m_2}^k({\lambda }_2)& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & \ddots & \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& J_{m_{s-1}}^k({\lambda }_{s-1})& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& J_{m_s}^k({\lambda }_s)\end{array}\right]$

而$m_i\times m_i$若尔当方塊矩陣Template:Mvar次方可以得到，針對$k\ge m_i-1$：

$J_{m_i}^k({\lambda }_i)=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_i^{k-1}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}){\lambda }_i^{k-2}& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m_i-1}){\lambda }_i^{k-m_i+1}\\ 0& {\lambda }_i^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_i^{k-1}& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m_i-2}){\lambda }_i^{k-m_i+2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_i^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_i^{k-1}\\ 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }_i^k\end{array}\right]$

因此，若$\rho (A)<1$，則針對所有的Template:Mvar，$|{\lambda }_i|<1$都會成立。因此針對所有的Template:Mvar，可得：

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{J}_{m_i}^k=0$

這也表示

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{J}^k=0.$

因此

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }V{J}^k{V}^{-1}=V\left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{J}^k\right)V^{-1}=0$

另一方面，若$\rho (A)>1$，當k增加時，在Template:Mvar中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。

Gelfand公式

定理

以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径

定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數 Template:Math，可得

$\rho (A)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\Vert A^k\Vert }^{\frac{1}{k}}.$.

證明

令任意Template:Math，先建構以下二個矩陣：

$A_{\pm }=\frac{1}{\rho (A)\pm \epsilon }A.$

則:

$\rho \left(A_{\pm }\right)=\frac{\rho (A)}{\rho (A)\pm \epsilon },\rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).$

先將之前的定理應用到Template:Math:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_{+}^k=0.$

這表示，根據級數極限定理，一定存在Template:Math使得針對所有的k ≥ N₊，下式都成立

$\begin{array}{c}\Vert A_{+}^k\Vert <1\end{array}$

因此

$\begin{array}{c}{\Vert A^k\Vert }^{\frac{1}{k}}<\rho (A)+\epsilon .\end{array}$

將之前的定理用在Template:Math，表示$\Vert A_{-}^k\Vert$無界，一定存在Template:Math使得針對所有的k ≥ N₋，下式都成立

$\begin{array}{c}\Vert A_{-}^k\Vert >1\end{array}$

因此

$\begin{array}{c}{\Vert A^k\Vert }^{\frac{1}{k}}>\rho (A)-\epsilon .\end{array}$

令Template:Math，可得：

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in 𝐍\mathrm{\forall }k\ge N\rho (A)-\epsilon <{\Vert A^k\Vert }^{\frac{1}{k}}<\rho (A)+\epsilon$

因此，依定義，可得下式

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\Vert A^k\Vert }^{\frac{1}{k}}=\rho (A).$

舉例

考慮以下矩陣

$A=\left[\begin{array}{ccc}9& -1& 2\\ -2& 8& 4\\ 1& 1& 8\end{array}\right]$

其中的特徵值為Template:Math。依照定義，Template:Math。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算$\Vert A^k{\Vert }^{\frac{1}{k}}$（注意，因為此矩陣特殊的形式，$\Vert .{\Vert }_1=\Vert .{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$）:

k	$\Vert .{\Vert }_1=\Vert .{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$\Vert .{\Vert }_F$	$\Vert .{\Vert }_2$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

有界線性算子

針對有界線性算子 Template:Mvar 及算子范数 ||·||，可以得到

$\rho (A)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^k{\Vert }^{\frac{1}{k}}.$

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於Template:Le，可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。

相關條目

• 聯合譜半徑
• Template:Le
• 矩阵的谱

參考資料

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