萊維過程

Template:NoteTA 莱维过程（Lévy process）源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续（Càdlàg）的随机过程。著名的例子有维纳过程和泊松过程。

定义

一个随机过程$X=\{X_t:t\ge 0\}$是一个莱维过程如果符合以下条件：

1. $X_0=0$ 几乎确定。
2. 独立增量：对任何$0\le t_1<t_2<\cdots <t_n<\mathrm{\infty }$, $X_{t_2}-X_{t_1},X_{t_3}-X_{t_2},\dots ,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$相互独立。
3. 稳定增量：对任何$s<t$, $X_t-X_s$与$X_{t-s}$有相同分布
4. $t\mapsto X_t$ is 几乎确定右连左极.

性质

独立增量

设X_t是一个连续时间上的随机过程。也就是说，对于任何固定的t ≥ 0，X_t是一个随机变量。过程的增量为差值X_s − X_t（任意的时间t < s）。 独立增量意味着对于任何时间s > t > u > v，X_s − X_t和X_u − X_v相独立。

稳定增量

如果增量X_s − X_t的分布只依赖于时间间隔s − t，则称增量是稳定的。

例如，对于维纳过程，增量X_s − X_t服从均值为0，方差为s − t的正态分布。

对于泊松过程，增量X_s − X_t服从指数为s − t的泊松分布

可分性

莱维过程与无限可分分布有关：

• 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n，X_t的分布可以表示为n个与X_t/n同分布的随机变量的和的分布。
• 反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

矩

当莱维过程的n阶矩${\mu }_n(t)=E(X_t^n)$存在有限时， 它满足二项式等式：

${\mu }_n(t+s)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\mu }_k(t){\mu }_{n-k}(s).$

例子

维纳过程

定义
X为维纳过程（或者标准布朗运动） 当且仅当

1. 对任何$t\ge 0$， 随机变量$X_t$服从正态分布$𝒩(0,t)$,
2. 它的轨迹是几乎处处连续的；即， 对于几乎所有的事件$\omega$，关于t的函数$\omega \mapsto X_t(\omega )$是连续的。

性质

• 它的傅立叶变换为：

$𝔼\left[e^{i\theta X_t}\right]=\exp (-\frac{1}{2}t{\theta }^2)$

其他性质可参考词条布朗运动。

复合泊松过程

定义
X为一个实参数为$c\ge 0$，测度为$\nu$ Template:Le当且仅当它的傅立叶变换为：

$𝔼\left[e^{i\theta X_t}\right]=\exp \left(ct(\underset{ℝ}{\int }{e}^{i\theta x}\nu (dx)-1)\right)$.

性质

• 参数为 $c\ge 0$，测度为Template:Le$\nu ={\delta }_1$的复合泊松过程为泊松过程.
• 设N为参数为$c\ge 0$的泊松过程，$S_n={\sum }_{k=0}^n{Y}_k$为一个随机游走（$Y_1$的分布为$\nu$），那么$X_t=S_{N_t}$为一个复合泊松过程。

参阅

• 独立同分布
• 维纳过程
• 泊松过程
• 马尔可夫链

参考来源

翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999