羊角螺线

双头欧拉螺线

羊角螺线

羊角螺线（clothoid），又稱欧拉螺线（Template:Lang），是形式为

$x=C(t)$

$y=S(t)$

的曲线，其中$C(t)$、$S(t)$为 Fresnel積分：

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$

上面參數方程的參數$t$，也是螺線於該點的曲率：$\kappa (t)=2t$。

兩個螺線的中心位於$\pm (\frac{\sqrt{2\pi }}{4},\frac{\sqrt{2\pi }}{4})$

由於此螺線的曲率與長度成正比，故常用於公路工程或鐵路工程，以缓和直路线与圆曲路线之间的曲率變化（向心力變化）。

在光學上，近場繞射（Fresnel繞射）中會應用Fresnel積分。

性质

• $C(x)$和$S(x)$是$x$的奇函数。

• $C$和$S$是整函数。

• 利用以上的幂级数展开式，可以把Fresnel积分扩展到复数范围，它是解析函数。Fresnel积分可以用误差函数来表示：

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x))$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x))$.

• $C(x)$和$S(x)$所定义的积分不能表示为初等函数。当$x$趋于无穷大时，函数的值为：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

参见

• 双曲螺线
• 圆内螺线
• 等角螺线
• 费马螺线
• 连锁螺线
• 阿基米德螺线