莱默平均

Template:Multiple issues 莱默平均（Template:Lang）是一种与幂平均类似的广义平均数，由美国数学家德里克·亨利·莱默提出。

定义

若 $p$ 是任意实数，则可定义正实数组 $𝐱$ 的 $p$ 次莱默平均为

L_{p} (𝐱) = \frac{\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{p}}{\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{p - 1}} .

若 $w_{k}$ 是一组正实数，则可定义加权莱默平均为

L_{p, w} (𝐱) = \frac{\sum_{k = 1}^{n} w_{k} \cdot x_{k}^{p}}{\sum_{k = 1}^{n} w_{k} \cdot x_{k}^{p - 1}} .

莱默平均可以看成是关于幂指数的函数，定义莱默平均函数 $p \mapsto L_{p} (𝐱)$ ，则莱默平均函数的导数是非负的：

\frac{\partial}{\partial p} L_{p} (𝐱) = \frac{(\sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = j + 1}^{n} [x_{j} - x_{k}] \cdot [\ln (x_{j}) - \ln (x_{k})] \cdot {[x_{j} \cdot x_{k}]}^{p - 1})}{{(\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{p - 1})}^{2}} \geq 0

因此，莱默平均函数是单调增函数且有如下莱默平均不等式：

p \leq q \to L_{p} (𝐱) \leq L_{q} (𝐱)

加权形式亦有此结论。