艾里函数

艾里函数（Ai(x)），英国英格蘭天文学家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

$y^{″}-xy=0,$

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

定义

Ai(x)（红色）和Bi(x)（蓝色）的图像

对于实数x，艾里函数由以下的积分定义：

$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)dt.$

虽然这个函数不是绝对可积的（当t趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个广义积分还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用分部积分法来检验）。

把:$y=Ai(x)$求导，我们可以发现它满足以下的微分方程：

$y^{″}-xy=0.$

这个方程有两个线性独立的解。除了:$Ai(x)$以外，另外一个解称为第二艾里函数，记为$Bi(x)$。它定义为当x趋于−∞时，振幅与$Ai(x)$相等，但相位与$Ai(x)$相差$\frac{\pi }{2}$ 的函数：

$\mathrm{B}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{(-\frac{t^3}{3}+xt)}+\sin (\frac{t^3}{3}+xt)dt.$

性质

$x=0$时，$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$和 $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$以及它们的导数的值为：

$\begin{array}{cccc}\mathrm{A}\mathrm{i}(0)& =\frac{1}{\sqrt[3]{9}\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})},& {\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(0)& =-\frac{1}{\sqrt[3]{3}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})},\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(0)& =\frac{1}{\sqrt[6]{3}\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})},& {\mathrm{B}\mathrm{i}}^{\prime }(0)& =\frac{\sqrt[6]{3}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})}.\end{array}$

在这里，$\mathrm{\Gamma }$表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是$\frac{1}{\pi }$ 。

当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x)也是正的凸函数，但呈指数增长。当x是负数时，Ai(x)和Bi(x)在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

渐近公式

当x趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)& \sim \frac{e^{-\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)& \sim \frac{e^{\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}.\end{array}$

而对于负数方向的极限，则有：

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(-x)& \sim \frac{\sin (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-x)& \sim \frac{\cos (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}.\end{array}$

这些极限的渐近展开式也是可以得到的。

自变量是复数时的情形

我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

$\mathrm{A}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\exp (\frac{t^3}{3}-zt)dt,$

其中积分路径$C$从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程$y^{″}-xy=0$来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。

以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为x^2/3，且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的，只要x位于扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−x)和Bi(−x)是正确的，如果x位于扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

图像

$\mathrm{\Re }[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$	$|\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)|$	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$

$\mathrm{\Re }[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$	$|\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)|$	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$

与其它特殊函数的关系

当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)& =\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{1}{3}x}{K}_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)& =\sqrt{\frac{1}{3}x}(I_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)).\end{array}$

在这里，I_±1/3和K_1/3是方程$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }-(x^2+1/9)y=0$的解。

当自变量是负数时，艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系：

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(-x)& =\frac{1}{3}\sqrt{x}(J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-x)& =\sqrt{\frac{1}{3}x}(J_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)-J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)).\end{array}$

在这里，J_±1/3是方程$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-1/9)y=0$的解。

Scorer函数是$y^{″}-xy=1/\pi$的解，它也可以用艾里函数来表示：

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt+\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt-\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt.\end{array}$

或是利用超几何函数，

$\mathrm{Gi}(z)\equiv \frac{1}{3}\mathrm{Bi}(z)-\frac{z^2}{2\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)$

$\mathrm{Hi}(z)\equiv \frac{2}{3}\mathrm{Bi}(z)+\frac{z^2}{2\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)$

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4) Template:Wayback. National Bureau of Standards.
• Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
• Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
• Template:Cite book（含有许多图像 Template:Wayback）

外部链接

• Template:MathWorld