胡列维茨定理

在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以Template:Link-en命名。

定理陈述

胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。

绝对版本

对于任意空间 $X$ 和任意正整数 $k$，都存在群同态（构造见本小节末尾）

$h_{\ast }:{\pi }_k(X)\to H_k(X)$

称为从 $k$ 阶同伦群到 $k$ 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 $k=1$ 且 $X$ 道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射

$h_{\ast }:{\pi }_1(X)\to {\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]\to H_1(X).$

胡列维茨定理声明，若 $X$ 是(n -1)-连通空间，那么对于所有 $k\le n$，胡列维茨同态都是群同构（当 $n\ge 2$）或阿贝尔化（当 $n=1$）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群：

$H_1(X)\cong {\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)].$

因此，如果 $X$ 道路连通且 ${\pi }_1(X)$ 是完美群，那么 $X$ 的第一同调群为零。

此外，当 $X$ 是(n -1)-连通时（$n\ge 2$），胡列维茨同态 ${\pi }_{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ 都是满同态（满射）。

胡列维茨同态由如下方式给定：设 $u_n\in H_n(S^n)$ 为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 $f\in {\pi }_n(X)$ 映射到 $f_{*}(u_n)\in H_n(X)$。

单纯集合版本

拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。

有理胡列维茨定理

设 $X$ 为单连通拓扑空间，并对于所有 $i\le r$ 满足 ${\pi }_i(X)\otimes \mathbb{Q}=0$。那么胡列维茨映射

$h\otimes \mathbb{Q}:{\pi }_i(X)\otimes \mathbb{Q}⟶H_i(X;\mathbb{Q})$

对于 $1\le i\le 2r$ 为同构，且对于 $i=2r+1$ 是满射。

参考资料

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