换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：$[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$，如果x与y交换，那么$[x,y]=e$。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群$\{e\}$。

定义

给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交换子所生成的子群：

$[G,G]=⟨g^{-1}{h}^{-1}gh|g,h\in G⟩.$

类似地可以定义高阶的导群。

$G^{(0)}=G$

$G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]n\in 𝐍$

可以证明，如果存在自然数 n 使得 $G^{(n)}=e$ ，那么G是可解群。

商群$G/[G,G]$是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作G^ab。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

$[G,G]=G$的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质

1. $G^{\prime }$是$G$的正规子群。
2. G对于自同构稳定：$\mathrm{\forall }\varphi \in Aut(G),\varphi (G^{\prime })=G^{\prime }$。
3. 如果H是G的子群，那么$H^{\prime }\subseteq G^{\prime }$。
4. $\pi :G_1\to G_2$是一个满同态，那么$\pi (G_1^{\prime })=G_2^{\prime }$。
5. 如果H是G的正规子群，那么$G/H$是交换群，当且仅当$G^{\prime }\subseteq H$。

   证明：${\pi }_H:G\to G/H:a\mapsto Ha$是一个满同态，

   所以，$G/H$是交换群

   $\iff \left\{e\right\}=(G/H{)}^{\prime }={\pi }_H(G^{\prime })$

   $\iff G^{\prime }\subseteq He=H$

6. $G^{\prime }\subseteq G^{\prime }$，所以$G^{ab}=G/G^{\prime }$ 可交换。

交换子群的例子

• 4次交替群$A_4$的交换子群是克莱因四元群$V_4$。
• n次对称群$S_n$的交换子群是n次交替群$A_n$。
• 四元群Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。

参见

• 群
• 交换子
• 正规子群
• 可解群
• 伽罗瓦理论

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