紹爾-謝拉赫引理

紹爾-謝拉赫引理，經帕约尔推廣的版本：對於每個有限族（綠色），都存在同樣多個集合組成的另一族（藍色），使得藍色族中每個集合，都被綠色族「Template:Le」。

组合数学和Template:Link-en中，紹爾-謝拉赫引理（Template:Lang-en）斷言，若集合族的VC维低，則該族不能有太多個集合。引理得名於諾貝特·紹爾和Template:Link-en，兩人分別獨立於1972年發表此結果。Template:註較之略早，在1971年，弗拉基米尔·瓦普尼克和亞歷克塞·澤范蘭傑斯合著的論文已有此結果（「VC維」即以兩人為名）。謝拉赫發表引理時，亦歸功於Template:Link-en，故引理又稱為佩爾萊斯-紹爾-謝拉赫引理。

布萨格洛等人稱其為「關於VC維的最根本結論之一」。引理在若干方面有應用，就各發現者的研究動機而言，紹爾是研究集族的組合學，謝拉赫研究模型论，VC二氏則研究统计学。後來，引理亦用於离散几何和图论。

定義及敍述

設$ℱ=\{S_1,S_2,\dots \}$為一族集合，$T$為另一集，此時所謂$T$為$ℱ$的Template:Le，意思是$T$的每個子集（包括空集和$T$本身），皆可表示成$T$與該族某集之交$T\cap S_i$。$ℱ$的VC維是其打碎的最大集的大小。

利用以上術語，紹爾-謝拉赫引理可以寫成：

若$ℱ$是一族集合，且各集合中，合共衹有$n$個不同元素，但 $|ℱ|>{\sum }_{i=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$，則$ℱ$打碎某個$k$元集合。

所以，若$ℱ$的VC維為$k$（故不打碎任何$k+1$元集），則$ℱ$中至多衹有${\sum }_{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=O(n^k)$個集合。

引理所給的界已是最優：考慮$n$元集$\{1,2,\dots ,n\}$中，所有小於$k$個元素的子集，所成的族$ℱ$。該族的大小恰為${\sum }_{i=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$，但是不打碎任何$k$元集。

打碎多少集合

帕约尔將紹爾-謝拉赫引理加強為：Template:Refn

有限族$ℱ$必打碎至少$|ℱ|$個集合。

紹爾-謝拉赫引理為其直接推論，因為$n$元全集的子集中，衹有${\sum }_{i=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$個的元素個數小於$k$。故$|ℱ|>{\sum }_{i=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$時，即使全部小集皆已打碎，仍不足$|ℱ|$個，故必有打碎某個不少於$k$元的集合。

亦可將「碎裂」的概念加以限縮，變成「順序碎裂」（Template:Lang）。此時，任意集族順序打碎的集合數，必恰好等於該族的大小。

證

紹爾-謝拉赫引理的帕約爾變式可使用数学归纳法證明，此證法一說出自諾加·阿隆，一說出自Template:Link-en及朗·霍爾茲曼（Template:Lang）。

作為歸納法的起始步驟，單一個集合組成的族$ℱ$，能打碎空集，已足$|ℱ|$個。

至於遞推步驟，可假設引理對任意少於$|ℱ|$個集合組成的族皆成立，且族$ℱ$有至少兩個集合，故可選取元素$x$為其一的元素，但不屬於另一集。如此便可將$ℱ$的集合分成兩類：包含$x$的集合歸入子族${ℱ}_1$，不含$x$的則歸入${ℱ}_0$。

由歸納假設，兩子族各自打碎的集合數，其和至少為$|{ℱ}_0|+|{ℱ}_1|=|ℱ|$。

該些碎裂集不能有元素$x$，因為若要打碎某個有$x$的集合$A$，則族中需要有含$x$的集合，也需要有不含$x$的集合，纔能使該族各集與$A$的交集出齊$A$的全體子集。

若集$S$衹被一個子族打碎，則數算兩子族打碎的集合時，$S$計為一個，數$ℱ$打碎的集合時亦計為一個。但$S$也可能同時被兩子族打碎，如此，數算兩子族打碎的集合時，會將$S$計兩次；不過$ℱ$既打碎$S$，也打碎$S\cup \{x\}$，所以$S$（和$S\cup \{x\}$）在數$ℱ$打碎的集合時，也計為兩次。由此，$ℱ$打碎的集合數，不小於兩子族各自打碎集合數之和，從而不小於$|ℱ|$。

紹爾-謝拉赫引理的原始形式還有另一種證明，利用线性代数及容斥原理，該證法由Template:Link-en和Template:Link-en給出。

應用

VC二氏原先將引理應用於證明，若考慮一族VC維固定的事件，則衹需有限多個取樣點，即可近似任意的概率分佈（使取樣所得的事件概率近似該分佈下的事件概率），且取樣點的個數衹取決於VC維數。具體而言，有兩種意義下的近似，各由參數$\epsilon$定義：

1. 取樣集$S$上的概率分佈定義為原分佈的「$\epsilon$近似」（Template:Lang-en），意思是每個事件被$S$以該分佈取樣的概率，與原概率所差不過$\epsilon$。
2. 取樣集$S$（不設權重）定義為「Template:Link-en」，意思是概率不小於$\epsilon$的任一事件中，必含$S$中至少一點。

由定義，$\epsilon$近似必為$\epsilon$網，反之則不一定。

VC二氏以此引理證明，若某集族的VC維為$d$，則必有大小不過$O(\frac{d}{{\epsilon }^2}\log \frac{d}{\epsilon })$的$\epsilon$近似。其後，Template:Harvtxt和Template:Harvtxt等發表了類似的結果，證明必存在大小為$O(\frac{d}{\epsilon }\log \frac{1}{\epsilon })$的$\epsilon$網，具體上界為$\frac{d}{\epsilon }\ln \frac{1}{\epsilon }+\frac{2d}{\epsilon }\ln \ln \frac{1}{\epsilon }+\frac{6d}{\epsilon }$。證明存在小$\epsilon$網的主要方法是，先揀選$O(\frac{d}{\epsilon }\log \frac{1}{\epsilon })$個點的隨機樣本$x$，再獨立揀選另$O(\frac{d}{\epsilon }{\log }^2\frac{1}{\epsilon })$個點的隨機樣本$y$，然後證明以下的不等式：存在某個較大事件$E$與$x$不交的概率$p_1$，與存在同樣的事件，且該事件與$y$相交點數大於中位值的概率$p_2$，兩概率之比至多為$2$。若固定$E$和$x\cup y$，則$x$不交$E$而$y$與$E$相交點數多於中位值的概率很小。由紹爾-謝拉赫引理，$E$與$x\cup y$的交集的可能情況並不太多，計算「存在$E$滿足條件」的概率時，衹需對每種交集的可能性考慮一個$E$，因此由併集上界，可得$p_1\le 2p_2<1$，故$x$有非零概率為$\epsilon$網。

以上論證說明隨機取樣足夠多個點就可能是$\epsilon$網。此性質以及$\epsilon$網、$\epsilon$近似兩概念本身，皆在机器学习和Template:Link-en方面有應用。计算几何方面的應用則有Template:Link-en、Template:Le、近似算法。

Template:Harvtxt利用紹爾-謝拉赫引理的推廣，證明若干圖論結果，例如：圖的Template:Link-enTemplate:註方案數介於其連通子圖數與Template:Le子圖數之間。