索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理, Sokhotski–Plemelj formula, 或 魏尔斯特拉斯定理（勿与其他同名魏尔斯特拉斯定理混淆）是複分析中的一个定理，用于计算很多问题中出现的柯西主值。物理学问题中很多见，但鲜有其命名的引用。该定理源自Julian Sokhotski, Karl Weierstrass和Josip Plemelj。

定理陈述

令ƒ为定义在实数轴上的连续函数，a与b为实常数，满足a < 0 < b。则

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x)}{x\pm i\epsilon }dx=\mp i\pi f(0)+𝒫\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx,$

其中$𝒫$表示柯西主值。

定理证明

简单证明如下：

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x)}{x\pm i\epsilon }dx=\mp i\pi \underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\epsilon }{\pi (x^2+{\epsilon }^2)}f(x)dx+\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{x^2}{x^2+{\epsilon }^2}\frac{f(x)}{x}dx.$

注意到第一项 $\epsilon /(\pi (x^2+{\epsilon }^2))$ 为狄拉克δ函数之先趨函數，在此极限下趋近狄拉克δ函数。 因此第一项等于 $\mp i\pi f(0)$.

第二项，注意到因子在当 |x| >> ε时，$x^2/(x^2+{\epsilon }^2)$趋近于1；当|x| << ε时趋近于0并关于零对称。 因此极限下为柯西主值积分。

物理应用

在量子力学和量子场论中，经常需要计算如下形式的积分：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(E)\exp (-iEt)dtdE,$

其中E为能量，t为时间。 上式对时间积分不收敛，因此一般需为t加入一个负的常系数，然后再令其趋于0。

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(E)\exp (-iEt-\epsilon t)dtdE$

$=-i\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(E)}{E-i\epsilon }dE=\pi f(0)-i𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(E)}{E}dE,$

其中最后一步用到了该定理。

在等离子体物理中，推导朗道阻尼的过程中使用到该定理，从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象。

参考文献

• Template:Cite book Chapter 3.1.
• Template:Cite book Appendix A, equation (A.19).

提及该定理名称的引用

• Quantum Theory of Many-body Systems: Techniques and Applications by Alexandre M. Zagoskin, p60
• Relativistic effects in proton-induced deuteron break-up at intermediate energies with forward emission of a fast proton pair
• Two-dimensional Coulomb Liquids and Solids, Yuriy Monarkha, p259