矩阵函数

Template:No footnotes 数学上讲，矩阵函数是把矩阵映射到另一个矩阵的函数。

将标量函数拓展为矩阵函数

指数级数

如果实值函数 Template:Mvar具有泰勒展开

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x+f^{″}(0)\cdot \frac{x^2}{2!}+\cdots$

那么矩阵函数可以通过用矩阵替换自变量$x$得到：指数运算变成矩阵指数，加法变成矩阵和，与标量系数的乘法变成矩阵和标量的乘法。如果实级数在$|x|<r$时收敛，那么其对应的关于$A$的矩阵级数也将收敛，如果在某个满足$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$的矩阵范数$\Vert \cdot \Vert$上满足$\Vert A\Vert <r$。

可对角化矩阵

如果矩阵$A$是可对角化矩阵，则结果可以简化为一个由各个特征值的函数值构成的矩阵。换句话说，假设我们可以找到矩阵$P$和对角阵$D$，使得$A=P\cdot D\cdot P^{-1}$，那么 把指数级数的定义用到这个分解上，我们可以得到

$f(A)=P\left[\begin{array}{ccc}f(d_1)& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \dots & f(d_n)\end{array}\right]P^{-1},$

其中$d_1,\dots ,d_n$表示$D$的对角元素。

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參考資料

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